حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (f {(x)}^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f (x^{1} x^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

خطوة 1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f x^{1 + 3} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

خطوة 1.1.1.3

أضف $1$ و $3$ .

$f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ على $f x^{4}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ على $f x^{4}$ .

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $f$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

خطوة 1.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

خطوة 1.1.2.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{f}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{f}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \frac{\ln (x)}{x^{4}} d x$

خطوة 2.3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل $x^{4}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) {(x^{4})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{4 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.2.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{- 4} d x$

خطوة 2.3.3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = x^{- 4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (\ln (x) (- \frac{1}{3 x^{3}}) - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

خطوة 2.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{x (3 x^{3})} d x)$

خطوة 2.3.4.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 (x^{1} x^{3})} d x)$

خطوة 2.3.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{1 + 3}} d x)$

خطوة 2.3.4.5

أضف $1$ و $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - - \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + 1 \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

خطوة 2.3.6.2

اضرب $\int \frac{1}{3 x^{4}} d x$ في $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

خطوة 2.3.7

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

خطوة 2.3.8

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

انقُل $x^{4}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int {(x^{4})}^{- 1} d x)$

خطوة 2.3.8.2

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{4 \cdot - 1} d x)$

خطوة 2.3.8.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{- 4} d x)$

خطوة 2.3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{2}))$

خطوة 2.3.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1.1

اجمع $x^{- 3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{2}))$

خطوة 2.3.10.1.2

انقُل $x^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$

خطوة 2.3.10.2

أعِد كتابة $\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$ بالصيغة $\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$

خطوة 2.3.11

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + K$