حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y \frac{d y}{d x} - (1 + y) x^{2} = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 \cdot 1 - y) x^{2} = 0$

خطوة 1.1.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 - y) x^{2} = 0$

خطوة 1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y \frac{d y}{d x} - 1 x^{2} - y x^{2} = 0$

خطوة 1.1.1.4

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} - x^{2} - y x^{2} = 0$

خطوة 1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أضف $x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$y \frac{d y}{d x} - y x^{2} = x^{2}$

خطوة 1.1.2.2

أضف $y x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$

خطوة 1.1.3

اقسِم كل حد في $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ على $y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اقسِم كل حد في $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ على $y$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

خطوة 1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

خطوة 1.1.3.3.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + x^{2}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $\frac{x^{2}}{y} + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $\frac{x^{2}}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2}$

خطوة 1.2.1.2

اضرب في $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$

خطوة 1.2.1.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + 1)$

خطوة 1.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + \frac{y}{y})$

خطوة 1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1 + y}{y}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} (x^{2} \frac{1 + y}{y})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

خطوة 1.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x^{2} (1 + y))$

خطوة 1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أخرِج العامل $1 + y$ من $x^{2} (1 + y)$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

خطوة 1.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

خطوة 1.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y}{1 + y} d y = x^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{1 + y} d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد ترتيب $1$ و $y$ .

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.2

اقسِم $y$ على $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

خطوة 2.2.2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

خطوة 2.2.2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

خطوة 2.2.2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

خطوة 2.2.2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

خطوة 2.2.2.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.6

لنفترض أن $u = y + 1$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

افترض أن $u = y + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1.1

أوجِد مشتقة $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 2.2.6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.6.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.6.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.7

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.8

بسّط.

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$