حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{3 + y}$ .

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3 + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{3 + y} d y = \frac{1}{1 - 2 x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{3 + y} d y = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 3 + y$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 3 + y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $3 + y$ .

$\frac{d}{d y} [3 + y]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 + y$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = 1 - 2 x$ . إذن $d u_{2} = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = 1 - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

خطوة 2.3.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.3.1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.3.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$0 - 2$

خطوة 2.3.1.1.4

اطرح $2$ من $0$ .

$- 2$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 2.3.2.2

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 2.3.5

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 - 2 x$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| 3 + y |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اجمع $\ln (| 1 - 2 x |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) = - \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} + C$

خطوة 3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 3 + y |) + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

خطوة 3.3

لكتابة $\ln (| 3 + y |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

خطوة 3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع $\ln (| 3 + y |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

خطوة 3.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2 + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

خطوة 3.5

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (| 3 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 3 + y |) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

خطوة 3.6

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط $\frac{2 \ln (| 3 + y |) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1.1

بسّط $2 \ln (| 3 + y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({| 3 + y |}^{2}) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

خطوة 3.6.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| 3 + y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\frac{\ln ({(3 + y)}^{2}) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

خطوة 3.6.1.1.3

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}{2} = C$

خطوة 3.6.1.2

أعِد كتابة $\frac{\ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |) = C$

خطوة 3.6.1.3

بسّط $\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.4

طبّق قاعدة الضرب على ${(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |$ .

$\ln ({({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.5

اضرب الأُسس في ${({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln ({(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln ({(3 + y)}^{1} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.6

بسّط.

$\ln ((3 + y) {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.7

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

خطوة 3.8

أعِد كتابة $\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

خطوة 3.9.2

اطرح $3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ من كلا المتعادلين.

$y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.9.3

اقسِم كل حد في $y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ على ${| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1

اقسِم كل حد في $y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ على ${| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.9.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.9.3.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.9.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$