حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{y^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d t} = y^{2} \frac{t}{y^{2}}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \frac{d y}{d t} = y^{2} \frac{t}{y^{2}}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} \frac{d y}{d t} = t$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y^{2} d y = t d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} d y = \int t d t$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int t d t$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} t^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $3 (\frac{1}{2} t^{2} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{t^{2}}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 \frac{t^{2}}{2} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3

اجمع $3$ و $\frac{t^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 t^{2}}{2} + 3 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 t^{2}}{2} + 3 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\sqrt[3]{\frac{3 t^{2}}{2} + 3 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $\frac{3 t^{2}}{2} + 3 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أخرِج العامل $3$ من $\frac{3 t^{2}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{t^{2}}{2} + 3 K}$

خطوة 3.4.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{t^{2}}{2} + 3 K}$

خطوة 3.4.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 \frac{t^{2}}{2} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{t^{2}}{2} + K)}$

خطوة 3.4.2

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{t^{2}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

خطوة 3.4.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اجمع $K$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

خطوة 3.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{t^{2} + K \cdot 2}{2}}$

خطوة 3.4.4

انقُل $2$ إلى يسار $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{t^{2} + 2 K}{2}}$

خطوة 3.4.5

اجمع $3$ و $\frac{t^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (t^{2} + 2 K)}{2}}$

خطوة 3.4.6

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{3 (t^{2} + 2 K)}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

خطوة 3.4.7

اضرب $\frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 3.4.8

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 3.4.8.2

ارفع $\sqrt[3]{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 3.4.8.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

خطوة 3.4.8.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

خطوة 3.4.8.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 3.4.8.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 3.4.8.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.8.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.8.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

خطوة 3.4.8.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

خطوة 3.4.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.9.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

خطوة 3.4.9.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

خطوة 3.4.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.10.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (t^{2} + 2 K) \cdot 4}}{2}$

خطوة 3.4.10.2

اضرب $4$ في $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (t^{2} + 2 K)}}{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (t^{2} + K)}}{2}$