حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d y} = 2 y + x + 3$

خطوة 1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d x}{d y} - x = 2 y + 3$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (y) d y}$ ، حيث $P (y) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 1 d y}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- y + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- y}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

خطوة 3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + e^{- y} \cdot 3$

خطوة 3.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

خطوة 7.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{- y} x = 2 \int y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

خطوة 7.3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = e^{- y}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

خطوة 7.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

خطوة 7.5.2

اضرب $\int e^{- y} d y$ في $1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

خطوة 7.6

لنفترض أن $u_{1} = - y$ . إذن $d u_{1} = - d y$ ، لذا $- d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

افترض أن $u_{1} = - y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1.1

أوجِد مشتقة $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 7.6.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 7.6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 7.6.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 7.6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

خطوة 7.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

خطوة 7.8

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int 3 e^{- y} d y$

خطوة 7.9

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int e^{- y} d y$

خطوة 7.10

لنفترض أن $u_{2} = - y$ . إذن $d u_{2} = - d y$ ، لذا $- d u_{2} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.1

افترض أن $u_{2} = - y$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.1.1

أوجِد مشتقة $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 7.10.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 7.10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 7.10.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 7.10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 7.12

اضرب $- 1$ في $3$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7.13

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 (e^{u_{2}} + C)$

خطوة 7.14

بسّط.

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) - 3 e^{u_{2}} + C$

خطوة 7.15

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.15.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{u_{2}} + C$

خطوة 7.15.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ على $e^{- y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ على $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

خطوة 8.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{2 (- y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

خطوة 8.3.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x = \frac{- 2 (y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

خطوة 8.3.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 2 e^{- y} - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

خطوة 8.3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

اطرح $3 e^{- y}$ من $- 2 e^{- y}$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

خطوة 8.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 y e^{- y}$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

خطوة 8.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 e^{- y}$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

خطوة 8.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y})$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

خطوة 8.3.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $C$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)}{e^{- y}}$

خطوة 8.3.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

خطوة 8.3.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.7.1

أعِد كتابة $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ بالصيغة $- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ .

$x = \frac{- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

خطوة 8.3.3.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C}{e^{- y}}$