حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x + 2 y + 2) d x + (2 x - 2 y^{2} + 6) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x + 2 y + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + 2 y + 2]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 2 y + 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 1.2.2

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 + 0$

خطوة 1.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضف $0$ و $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

خطوة 1.5.2

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 2 x - 2 y^{2} + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x - 2 y^{2} + 6]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 2 y^{2} + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 2 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 2.4.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 + 0$

خطوة 2.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0$

خطوة 2.5.2

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 = 2$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$2 = 2$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + 2 y + 2 d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 2 x + 2 y + 2$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int 2 y d x + \int 2 d x$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int 2 y d x + \int 2 d x$

خطوة 5.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 y d x + \int 2 d x$

خطوة 5.4

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 y x + C + \int 2 d x$

خطوة 5.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y x + C + \int 2 d x$

خطوة 5.6

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y x + C + 2 x + C$

خطوة 5.7

بسّط.

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

خطوة 8.2.2

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

خطوة 8.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + 2 x + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

خطوة 8.4

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + 2 x + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

خطوة 8.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x + 0 + \frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

خطوة 8.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1.1

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x + 0 + \frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

خطوة 8.6.1.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x + \frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

خطوة 8.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + 2 x = 2 x - 2 y^{2} + 6$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6 - 2 x$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x - 2 y^{2} + 6 - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2} + 6 + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $- 2 y^{2} + 6$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2} + 6$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $- 2 y^{2} + 6$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2} + 6$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y^{2} + 6 d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y^{2} + 6 d y$

خطوة 10.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (y) = \int - 2 y^{2} d y + \int 6 d y$

خطوة 10.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$g (y) = - 2 \int y^{2} d y + \int 6 d y$

خطوة 10.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 6 d y$

خطوة 10.6

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 6 y + C$

خطوة 10.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{y^{3}}{3} + C) + 6 y + C$

خطوة 10.8

بسّط.

$g (y) = \frac{- 2 y^{3}}{3} + 6 y + C$

خطوة 10.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$g (y) = - \frac{2 y^{3}}{3} + 6 y + C$

خطوة 10.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.10.1

أعِد ترتيب الحدود.

$g (y) = - (\frac{2}{3} y^{3}) + 6 y + C$

خطوة 10.10.2

احذِف الأقواس.

$g (y) = - \frac{2}{3} y^{3} + 6 y + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x - \frac{2}{3} y^{3} + 6 y + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $y^{3}$ و $\frac{2}{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x - \frac{y^{3} \cdot 2}{3} + 6 y + C$

خطوة 12.2

انقُل $2$ إلى يسار $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x - \frac{2 y^{3}}{3} + 6 y + C$