حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + e^{x}) (y d) y = e^{x} d x$

خطوة 1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 + e^{x}}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $1 + e^{x}$ من $(1 + e^{x}) y$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) (y)) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

خطوة 2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

خطوة 2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{1}{1 + e^{x}}$ و $e^{x}$ .

$y d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لنفترض أن $u = 1 + e^{x}$ . إذن $d u = e^{x} d x$ ، لذا $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

افترض أن $u = 1 + e^{x}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

خطوة 3.3.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 3.3.1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 3.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

خطوة 3.3.1.1.4

أضف $0$ و $e^{x}$ .

$e^{x}$

خطوة 3.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 3.3.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

خطوة 4.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

خطوة 4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

خطوة 4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + e^{x} |) + 2 C$

خطوة 4.3

بسّط $2 \ln (| 1 + e^{x} |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$y^{2} = \ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C$

خطوة 4.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C}$

خطوة 4.5

احذِف القيمة المطلقة في ${| 1 + e^{x} |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

خطوة 4.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

خطوة 4.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

خطوة 4.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

خطوة 5

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$