حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

خطوة 1

اكتب المسألة في صورة عبارة رياضية.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d t} = 3 t^{2}$

خطوة 2.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = 3 t^{2} d t$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int 3 t^{2} d t$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

خطوة 3.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ بالصيغة $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2.3

اضرب $t^{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = t^{3} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (t^{3} + K)$

خطوة 4.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

خطوة 4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

خطوة 4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (t^{3} + K)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 t^{3} + 2 K$

خطوة 4.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{2 t^{3} + 2 K}$

خطوة 4.4

أخرِج العامل $2$ من $2 t^{3} + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

خطوة 4.4.2

أخرِج العامل $2$ من $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

خطوة 4.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (t^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

خطوة 4.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

خطوة 4.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

خطوة 4.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

خطوة 5

بما أن $y$ يساوي قيمة غير سالبة في الشرط الابتدائي $(2, 0)$ ، انظر فقط $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ لإيجاد $K$ . وعوّض بـ $2$ عن $t$ وبـ $0$ عن $y$ .

$0 = \sqrt{2 (2^{3} + K)}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$ .

$\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$

خطوة 6.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{2 (2^{3} + K)}}^{2} = 0^{2}$

خطوة 6.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 (2^{3} + K)}$ في صورة ${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

اضرب الأُسس في ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(2 (2^{3} + K))}^{1} = 0^{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

${(2 (8 + K))}^{1} = 0^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

${(2 \cdot 8 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

خطوة 6.3.2.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.3.1

اضرب $2$ في $8$ .

${(16 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

خطوة 6.3.2.1.3.2

بسّط.

$16 + 2 K = 0^{2}$

خطوة 6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$16 + 2 K = 0$

خطوة 6.4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اطرح $16$ من كلا المتعادلين.

$2 K = - 16$

خطوة 6.4.2

اقسِم كل حد في $2 K = - 16$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

اقسِم كل حد في $2 K = - 16$ على $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

خطوة 6.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

خطوة 6.4.2.2.1.2

اقسِم $K$ على $1$ .

$K = \frac{- 16}{2}$

خطوة 6.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1

اقسِم $- 16$ على $2$ .

$K = - 8$

خطوة 7

عوّض بـ $- 8$ عن $K$ في $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 8$ .

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 8)}$

خطوة 7.2

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 2^{3})}$

خطوة 7.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = t$ و $b = 2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + t \cdot 2 + 2^{2}))}$

خطوة 7.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

انقُل $2$ إلى يسار $t$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 \cdot t + 2^{2}))}$

خطوة 7.4.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 t + 4))}$

$y = \sqrt{2 (t - 2) (t^{2} + 2 t + 4)}$