حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y + 4) d x + x d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(y + 4) d x$ من كلا المتعادلين.

$x d y = - (y + 4) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x (y + 4)}$ .

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x (y + 4)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $y + 4$ من $x (y + 4)$ .

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x} d x$

خطوة 3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y + 4} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u = y + 4$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u = y + 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

خطوة 4.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 4$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

خطوة 4.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

خطوة 4.2.1.1.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y + 4$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 4.3.3

بسّط.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y + 4 |) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y + 4 |) + \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 4 | | x |) = C$

خطوة 5.3

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| (y + 4) x |) = C$

خطوة 5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y x + 4 x |) = C$

خطوة 5.5

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y x + 4 x |)} = e^{C}$

خطوة 5.6

أعِد كتابة $\ln (| y x + 4 x |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x + 4 x |$

خطوة 5.7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y x + 4 x | = e^{C}$ .

$| y x + 4 x | = e^{C}$

خطوة 5.7.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y x + 4 x = \pm e^{C}$

خطوة 5.7.3

اطرح $4 x$ من كلا المتعادلين.

$y x = \pm e^{C} - 4 x$

خطوة 5.7.4

اقسِم كل حد في $y x = \pm e^{C} - 4 x$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.4.1

اقسِم كل حد في $y x = \pm e^{C} - 4 x$ على $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 5.7.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 5.7.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 5.7.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.4.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.4.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

خطوة 5.7.4.3.1.2

اقسِم $- 4$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} - 4$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C}{x} - 4$