حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (1 + y^{2}) d x = y d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = x (1 + y^{2}) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{1 + y^{2}}$ و $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $1 + y^{2}$ من $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x) d x$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x) d x$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = x d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int x d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u = 1 + y^{2}$ . إذن $d u = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u = 1 + y^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

خطوة 4.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 4.2.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 4.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 y$

خطوة 4.2.1.1.5

أضف $0$ و $2 y$ .

$2 y$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x d x$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

خطوة 4.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

خطوة 4.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

خطوة 4.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

خطوة 4.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

خطوة 4.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int x d x$

خطوة 4.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

خطوة 5.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

خطوة 5.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

خطوة 5.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 1 + y^{2} |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = | 1 + y^{2} |$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$

خطوة 5.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

خطوة 5.5.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$

خطوة 5.5.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 1}$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + C} - 1}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $e^{x^{2} + C}$ بالصيغة $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 1}$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب $e^{x^{2}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 1}$

خطوة 6.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \pm \sqrt{C e^{x^{2}} - 1}$