حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + y = x^{2}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2}$

خطوة 2.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{2} e^{x}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{2} e^{x}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{2} e^{x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x$

خطوة 6.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x)$

خطوة 6.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x$

خطوة 6.4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

خطوة 6.5

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

خطوة 6.6

أعِد كتابة $x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$ بالصيغة $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$ على $e^{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$ على $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.3.1.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = x^{2} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.3.1.2.2

اقسِم $- 2 x$ على $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = x^{2} - 2 x + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7.3.1.3.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 2 + \frac{C}{e^{x}}$