حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{12 \sqrt{x}}$ , $y (4) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = - \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int - \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{1}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{12}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{12} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

خطوة 2.3.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{12} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{12} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.3.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{12} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.3.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{12} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 2.3.3.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = - \frac{1}{12} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{12} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{12} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $- \frac{1}{12} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{12} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{12}) x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{12}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{12} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{12} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $4$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = - \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = - \frac{1}{6} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{1}{6} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$- \frac{1}{6} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 0$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{6} \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{6} \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{6} \cdot 2^{1} + K = 0$

خطوة 4.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$- \frac{1}{6} \cdot 2 + K = 0$

خطوة 4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{6}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{6} \cdot 2 + K = 0$

خطوة 4.2.5.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{- 1}{2 (3)} \cdot 2 + K = 0$

خطوة 4.2.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot 2 + K = 0$

خطوة 4.2.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{3} + K = 0$

خطوة 4.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{3} + K = 0$

خطوة 4.3

أضف $\frac{1}{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$K = \frac{1}{3}$

خطوة 5

عوّض بـ $\frac{1}{3}$ عن $K$ في $y = - \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3}$

خطوة 5.2

اجمع $x^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{1}{6}$ .

$y = - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{1}{3}$