حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

خطوة 1.1.1.2

اضرب $\frac{d y}{d x}$ في $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

خطوة 1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 1 = - y^{2}$

خطوة 1.1.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

خطوة 1.1.3.2

ارفع $\frac{d y}{d x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - y^{2} - 1$

خطوة 1.1.3.4

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$

خطوة 1.1.4

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ على $x^{2} + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ على $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1 (1)}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.5.1

أعِد كتابة $- (y^{2} + 1)$ بالصيغة $- 1 (y^{2} + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (- \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{y^{2} + 1}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.3

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

خطوة 3.2

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ على $- 1$ .

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 3.3.2.2

اقسِم $\arctan (x)$ على $1$ .

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\arctan (y)}{- 1}$ .

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 3.3.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \arctan (y)$ بالصيغة $- \arctan (y)$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 3.3.3.1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

خطوة 3.3.3.1.4

اقسِم $K$ على $1$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

خطوة 3.4

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

خطوة 3.5

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\tan (- \arctan (y) + K) = x$ .

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

خطوة 3.6

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $\arctan (y)$ من داخل المماس.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

خطوة 3.7

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

خطوة 3.8

اقسِم كل حد في $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

اقسِم كل حد في $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ على $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 3.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 3.8.2.2

اقسِم $\arctan (y)$ على $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 3.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 3.8.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \arctan (x)$ بالصيغة $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 3.8.3.1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

خطوة 3.8.3.1.4

اقسِم $K$ على $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

خطوة 3.9

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

خطوة 3.10

بما أن $y$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

خطوة 3.11

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $\arctan (y)$ من داخل المماس.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

خطوة 3.12

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

خطوة 3.13

اقسِم كل حد في $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.1

اقسِم كل حد في $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ على $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 3.13.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 3.13.2.2

اقسِم $\arctan (y)$ على $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 3.13.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 3.13.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \arctan (x)$ بالصيغة $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 3.13.3.1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

خطوة 3.13.3.1.4

اقسِم $K$ على $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

خطوة 3.14

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$