حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ , $y (0) = 3$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 12 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.3.2.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = 12 \int u^{2} d u$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة $12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ بالصيغة $12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

اجمع $12$ و $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{3} u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$y + C_{1} = 4 u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 4 \sin^{3} (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $3$ عن $y$ في $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ .

$3 = 4 \sin^{3} (0) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 \sin^{3} (0) + K = 3$ .

$4 \sin^{3} (0) + K = 3$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $4 \sin^{3} (0) + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$4 \cdot 0^{3} + K = 3$

خطوة 4.2.1.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 \cdot 0 + K = 3$

خطوة 4.2.1.1.3

اضرب $4$ في $0$ .

$0 + K = 3$

خطوة 4.2.1.2

أضف $0$ و $K$ .

$K = 3$

خطوة 5

عوّض بـ $3$ عن $K$ في $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $3$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + 3$