حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 2 x y - 2 x e^{- x^{2}} = 0$

خطوة 1

أضف $2 x e^{- x^{2}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 2 x e^{- x^{2}}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 x d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int x d x}$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

خطوة 2.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

خطوة 2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

خطوة 2.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{1 x^{2} + C}$

خطوة 2.2.3.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x^{2}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} (x e^{- x^{2}})$

خطوة 3.4

اضرب $e^{x^{2}}$ في $e^{- x^{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل $e^{- x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 (e^{- x^{2}} e^{x^{2}}) x$

خطوة 3.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2} + x^{2}} x$

خطوة 3.4.3

أضف $- x^{2}$ و $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{0} x$

خطوة 3.5

بسّط $2 e^{0} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$

خطوة 3.6

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 2 x$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 2 x$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 2 x d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{x^{2}} y = 2 \int x d x$

خطوة 7.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 7.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 7.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

خطوة 7.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

خطوة 7.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{x^{2}} y = 1 x^{2} + C$

خطوة 7.3.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$e^{x^{2}} y = x^{2} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ على $e^{x^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ على $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$