حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2} e^{3 y + 9}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{1}{e^{3 y + 9}}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $e^{3 y + 9}$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} (\frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{1}{e^{3 y + 9}})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{x^{2} e^{3 y + 9}}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{3 y + 9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $e^{3 y + 9}$ من $x^{2} e^{3 y + 9}$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{e^{3 y + 9} x^{2}}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{e^{3 y + 9} x^{2}}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$e^{3 y + 9} d y = \frac{4}{x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int e^{3 y + 9} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 3 y + 9$ . إذن $d u = 3 d y$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 3 y + 9$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $3 y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 9]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 y + 9$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [9]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.4.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 2.2.1.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 y + 9$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 (- x^{- 1} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة $4 (- x^{- 1} + C_{2})$ بالصيغة $4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = - 4 \frac{1}{x} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{- 4}{x} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = - \frac{4}{x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} = - \frac{4}{x} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9}) = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3 y + 9}$ .

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{3 y + 9} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $3 (- \frac{4}{x} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{3 y + 9} = 3 (- \frac{4}{x}) + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $3 (- \frac{4}{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$e^{3 y + 9} = - 3 \frac{4}{x} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{4}{x}$ .

$e^{3 y + 9} = \frac{- 3 \cdot 4}{x} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.2.3

اضرب $- 3$ في $4$ .

$e^{3 y + 9} = \frac{- 12}{x} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{3 y + 9} = - \frac{12}{x} + 3 K$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{3 y + 9}) = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

خطوة 3.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $\ln (e^{3 y + 9})$ بنقل $3 y + 9$ خارج اللوغاريتم.

$(3 y + 9) \ln (e) = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

خطوة 3.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$(3 y + 9) \cdot 1 = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

خطوة 3.4.3

اضرب $3 y + 9$ في $1$ .

$3 y + 9 = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

خطوة 3.5

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$

خطوة 3.6

اقسِم كل حد في $3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اقسِم كل حد في $3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$ على $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

خطوة 3.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

خطوة 3.6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

خطوة 3.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

اقسِم $- 9$ على $3$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} - 3$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + K)}{3} - 3$