حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + x}{y + 1}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y + 1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x^{2} + x}{y + 1}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x}{y + 1}$

خطوة 1.2.1.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x^{1}}{y + 1}$

خطوة 1.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x \cdot 1}{y + 1}$

خطوة 1.2.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x (x + 1)}{y + 1}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x (x + 1)}{y + 1}$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x (x + 1)$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 1$

خطوة 1.2.4

اضرب $x$ في $x$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 1$

خطوة 1.2.5

اضرب $x$ في $1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(y + 1) d y = (x^{2} + x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y + 1 d y = \int x^{2} + x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y d y + \int d y = \int x^{2} + x d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} + x d x$

خطوة 2.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} + x d x$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} + x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int x d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + K$

خطوة 3.3

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اطرح $\frac{x^{3}}{3}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{2}}{2} + K$

خطوة 3.3.2

اطرح $\frac{x^{2}}{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} = K$

خطوة 3.3.3

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

خطوة 3.4

اضرب في القاسم المشترك الأصغر $6$ ، ثم بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (\frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 (3) (\frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{2})) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 y^{2} + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{3}}{3}$ إلى بسط الكسر.

$3 y^{2} + 6 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.2.2

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$3 y^{2} + 6 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$3 y^{2} + 6 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.4.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 2 (3) (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 2 \cdot (3 (\frac{- x^{2}}{2})) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 3 (- x^{2}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.5

اضرب $- 1$ في $3$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.6

اضرب $- 1$ في $6$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K = 0$

خطوة 3.4.3

انقُل $6 y$ .

$3 y^{2} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K + 6 y = 0$

خطوة 3.4.4

أعِد ترتيب $3 y^{2}$ و $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 y^{2} - 3 x^{2} - 6 K + 6 y = 0$

خطوة 3.5

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.6

عوّض بقيم $a = 3$ و $b = 6$ و $c = - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K))}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.2

اضرب $- 4$ في $3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 (- 2 x^{3}) - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.4.1

اضرب $- 2$ في $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.4.2

اضرب $- 3$ في $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.4.3

اضرب $- 6$ في $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.5

أخرِج العامل $12$ من $36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.5.1

أخرِج العامل $12$ من $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.5.2

أخرِج العامل $12$ من $24 x^{3}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.5.3

أخرِج العامل $12$ من $36 x^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 72 K}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.5.4

أخرِج العامل $12$ من $72 K$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.5.5

أخرِج العامل $12$ من $12 (3) + 12 (2 x^{3})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.5.6

أخرِج العامل $12$ من $12 (3 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.5.7

أخرِج العامل $12$ من $12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.6

أعِد كتابة $12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.6.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.6.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.7.2

اضرب $2$ في $3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$

خطوة 3.7.3

بسّط $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

خطوة 3.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 3)}}{3}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 3)}}{3}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$