حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $1 - y$ .

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = (1 - y) \frac{x^{2}}{1 - y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = (1 - y) \frac{x^{2}}{1 - y}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(1 - y) d y = x^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 1 - y d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d y + \int - y d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} + \int - y d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} - \int y d y = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$y - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} d x$

خطوة 2.2.6

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + K$

خطوة 3.3

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اطرح $\frac{x^{3}}{3}$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} = K$

خطوة 3.3.2

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - K = 0$

خطوة 3.4

اضرب في القاسم المشترك الأصغر $6$ ، ثم بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (- \frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y^{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$6 (\frac{- y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.1.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 (3) (\frac{- y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot (3 (\frac{- y^{2}}{2})) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$3 (- y^{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{3}}{3}$ إلى بسط الكسر.

$- 3 y^{2} + 6 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.3.2

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 3 y^{2} + 6 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.5

اضرب $- 1$ في $6$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 6 K = 0$

خطوة 3.4.3

انقُل $6 y$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{3} - 6 K + 6 y = 0$

خطوة 3.4.4

أعِد ترتيب $- 3 y^{2}$ و $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} - 3 y^{2} - 6 K + 6 y = 0$

خطوة 3.5

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.6

عوّض بقيم $a = - 3$ و $b = 6$ و $c = - 2 x^{3} - 6 K$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.7.1.2

اضرب $- 4$ في $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.7.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 (- 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.7.1.4

اضرب $- 2$ في $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24 x^{3} + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.7.1.5

اضرب $- 6$ في $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24 x^{3} - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.7.1.6

أخرِج العامل $12$ من $36 - 24 x^{3} - 72 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.6.1

أخرِج العامل $12$ من $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) - 24 x^{3} - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.7.1.6.2

أخرِج العامل $12$ من $- 24 x^{3}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- 2 x^{3}) - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.7.1.6.3

أخرِج العامل $12$ من $- 72 K$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.7.1.6.4

أخرِج العامل $12$ من $12 (3) + 12 (- 2 x^{3})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.7.1.6.5

أخرِج العامل $12$ من $12 (3 - 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.7.1.7

أعِد كتابة $12 (3 - 2 x^{3} - 6 K)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.7.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.7.1.7.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.7.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

خطوة 3.7.2

اضرب $2$ في $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{- 6}$

خطوة 3.7.3

بسّط $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{- 6}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

خطوة 3.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} + K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} + K)}}{3}$