حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - y = 4$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 1 d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} \cdot 4$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \cdot 4$

خطوة 2.3

انقُل $4$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 4 \cdot e^{- x}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 4 e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 4 e^{- x}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 4 e^{- x}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int 4 e^{- x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- x} y = \int 4 e^{- x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = 4 \int e^{- x} d x$

خطوة 6.2

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 6.2.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- x} y = 4 \int - e^{u} d u$

خطوة 6.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = 4 (- \int e^{u} d u)$

خطوة 6.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e^{- x} y = - 4 \int e^{u} d u$

خطوة 6.5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{- x} y = - 4 (e^{u} + C)$

خطوة 6.6

بسّط.

$e^{- x} y = - 4 e^{u} + C$

خطوة 6.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$e^{- x} y = - 4 e^{- x} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{- x} y = - 4 e^{- x} + C$ على $e^{- x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{- x} y = - 4 e^{- x} + C$ على $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- 4 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- 4 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- 4 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- 4 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3.1.2

اقسِم $- 4$ على $1$ .

$y = - 4 + \frac{C}{e^{- x}}$