حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = e^{x} + 2 x e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + 2 x e^{- y}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + 2 x e^{- y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

خطوة 1.2.2

بما أن $e^{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $e^{x}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x e^{- y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y])$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y])$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

خطوة 1.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

خطوة 1.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \cdot - 1)$

خطوة 1.3.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- 1 \cdot e^{- y})$

خطوة 1.3.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- y}$ بالصيغة $- e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- e^{- y})$

خطوة 1.3.8

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x e^{- y}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اطرح $2 x e^{- y}$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب عوامل $- 2 x e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{- y} x$

خطوة 1.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 e^{- y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = e^{x} + e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- y}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + e^{- y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $e^{- y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $e^{- y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 2 x e^{- y}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $e^{x}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- 2 x e^{- y}$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $e^{x} + 2 x e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $e^{x} + 2 x e^{- y}$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

خطوة 4.3.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

خطوة 4.3.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $e^{x} + 2 x e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الثابت.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

خطوة 5.2

بسّط.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$ في عامل التكامل $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $e^{x} + 2 x e^{- y}$ في $e^{y}$ .

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) e^{y} d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(e^{x} e^{y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

خطوة 6.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(e^{x + y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $e^{- y}$ في $e^{y}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

انقُل $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x (e^{y} e^{- y})) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

خطوة 6.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(e^{x + y} + 2 x e^{y - y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

خطوة 6.4.3

اطرح $y$ من $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x e^{0}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

خطوة 6.5

بسّط $2 x e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $e^{x} + e^{- y}$ في $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) e^{y} d y = 0$

خطوة 6.7

طبّق خاصية التوزيع.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} e^{y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

خطوة 6.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

خطوة 6.9

اضرب $e^{- y}$ في $e^{y}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y + y}) d y = 0$

خطوة 6.9.2

أضف $- y$ و $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{0}) d y = 0$

خطوة 6.10

بسّط $e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + 1) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x + y} + 1 d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = e^{x + y} + 1$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int d y$

خطوة 8.2

لنفترض أن $u = x + y$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

افترض أن $u = x + y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

أوجِد مشتقة $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

خطوة 8.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 8.2.1.3

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 8.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 8.2.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 8.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int d y$

خطوة 8.3

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int d y$

خطوة 8.4

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = e^{u} + C + y + C$

خطوة 8.5

بسّط.

$f (x, y) = e^{u} + y + C$

خطوة 8.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x + y} + 2 x$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} + y + g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x + y} + y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

خطوة 11.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

خطوة 11.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

خطوة 11.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

خطوة 11.3.4

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

خطوة 11.3.5

أضف $1$ و $0$ .

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

خطوة 11.3.6

اضرب $e^{x + y}$ في $1$ .

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

خطوة 11.4

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{x + y} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{x + y} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

خطوة 11.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

أضف $e^{x + y}$ و $0$ .

$e^{x + y} + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

خطوة 11.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = e^{x + y} + 2 x$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $e^{x + y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$

خطوة 12.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

اطرح $e^{x + y}$ من $e^{x + y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

خطوة 12.1.2.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $2 x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

خطوة 13.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (x) = 2 \int x d x$

خطوة 13.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 13.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 13.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

خطوة 13.5.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + x^{2} + C$