حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x f (x) - 16 (f x)}{x^{17}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

قسّم الكسر $\frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$ إلى كسرين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{17}} + \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

خطوة 2.1.2

اطرح $\frac{x y}{x^{17}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المعادلة بمعاملات معزولة.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $y$ من $- \frac{x y}{x^{17}}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{17}}) = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب $y$ و $- \frac{x}{x^{17}}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{17}} y = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

خطوة 3

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - \frac{x}{x^{17}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{x}{x^{17}} d x}$

خطوة 3.2

أوجِد تكامل $- \frac{x}{x^{17}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{17}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{\int - \frac{x^{1}}{x^{17}} d x}$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x^{17}} d x}$

خطوة 3.2.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{17}$ .

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

خطوة 3.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

خطوة 3.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\int - \frac{1}{x^{16}} d x}$

خطوة 3.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{x^{16}} d x}$

خطوة 3.2.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

انقُل $x^{16}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$e^{- \int {(x^{16})}^{- 1} d x}$

خطوة 3.2.3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{16})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- \int x^{16 \cdot - 1} d x}$

خطوة 3.2.3.2.2

اضرب $16$ في $- 1$ .

$e^{- \int x^{- 16} d x}$

خطوة 3.2.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 16}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{15} x^{- 15}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15} x^{- 15} + C)}$

خطوة 3.2.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1.1

اجمع $x^{- 15}$ و $\frac{1}{15}$ .

$e^{- (- \frac{x^{- 15}}{15} + C)}$

خطوة 3.2.5.1.2

انقُل $x^{- 15}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15 x^{15}} + C)}$

خطوة 3.2.5.2

بسّط.

$e^{- - \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

خطوة 3.2.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{1 \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

خطوة 3.2.5.3.2

اضرب $\frac{1}{15 x^{15}}$ في $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}} + C}$

خطوة 3.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$

خطوة 4

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كل حد في $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

خطوة 4.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{17}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x^{1}}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

خطوة 4.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

خطوة 4.2.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{17}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

خطوة 4.2.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

خطوة 4.2.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{1}{x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

خطوة 4.2.3

اجمع $\frac{1}{x^{16}}$ و $y$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{y}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

خطوة 4.2.4

اجمع $\frac{y}{x^{16}}$ و $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

خطوة 4.3

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{17}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $x$ من $- 16 f x$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x^{17}}$

خطوة 4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{17}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f}{x^{16}}$

خطوة 4.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{16 f}{x^{16}})$

خطوة 4.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{16 f}{x^{16}}$

خطوة 4.6

اجمع $\frac{16 f}{x^{16}}$ و $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

خطوة 5

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

خطوة 6

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] d x = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

خطوة 8

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - \int \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

خطوة 8.2

بما أن $16 f$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $16 f$ خارج التكامل.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - (16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x)$

خطوة 8.3

اضرب $16$ في $- 1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

خطوة 8.4

لنفترض أن $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . إذن $d u = - \frac{1}{x^{16}} d x$ ، لذا $- d u = \frac{1}{x^{16}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

افترض أن $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15 x^{15}}]$

خطوة 8.4.1.2

بما أن $\frac{1}{15}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{15 x^{15}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$

خطوة 8.4.1.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{15}}$ بالصيغة ${(x^{15})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{15})}^{- 1}]$

خطوة 8.4.1.3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{15})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{15 \cdot - 1}]$

خطوة 8.4.1.3.2.2

اضرب $15$ في $- 1$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 15}]$

خطوة 8.4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 15$ .

$\frac{1}{15} (- 15 x^{- 16})$

خطوة 8.4.1.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.5.1

اجمع $- 15$ و $\frac{1}{15}$ .

$\frac{- 15}{15} x^{- 16}$

خطوة 8.4.1.5.2

اجمع $\frac{- 15}{15}$ و $x^{- 16}$ .

$\frac{- 15 x^{- 16}}{15}$

خطوة 8.4.1.5.3

انقُل $x^{- 16}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 15}{15 x^{16}}$

خطوة 8.4.1.5.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 15$ و $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.5.4.1

أخرِج العامل $15$ من $- 15$ .

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

خطوة 8.4.1.5.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.5.4.2.1

أخرِج العامل $15$ من $15 x^{16}$ .

$\frac{15 \cdot - 1}{15 (x^{16})}$

خطوة 8.4.1.5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

خطوة 8.4.1.5.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{x^{16}}$

خطوة 8.4.1.5.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{x^{16}}$

خطوة 8.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int - e^{u} d u$

خطوة 8.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f (- \int e^{u} d u)$

خطوة 8.6

اضرب $- 1$ في $- 16$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f \int e^{u} d u$

خطوة 8.7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f (e^{u} + C)$

خطوة 8.8

بسّط.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{u} + C$

خطوة 8.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$

خطوة 9

اقسِم كل حد في $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ على $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اقسِم كل حد في $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ على $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

خطوة 9.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

خطوة 9.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

خطوة 9.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

خطوة 9.3.1.2

اقسِم $16 f$ على $1$ .

$y = 16 f + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$