حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 y^{2} t d y + (y^{3} + 2 t) d t = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد الكتابة.

$(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y^{3} + 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + 2 t]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} + 2 t$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [2 t]$

خطوة 2.4

بما أن $2 t$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 0$

خطوة 2.5

أضف $3 y^{2}$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 3 y^{2} t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} t]$

خطوة 3.2

بما أن $3 y^{2} t$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3 y^{2} t$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $3 y^{2}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $0$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} = 0$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$3 y^{2} = 0$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{N}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $3 y^{2} t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $3 y^{2} t$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{3 y^{2} t}$

خطوة 5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $3 y^{2} + 0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 y^{2}$ .

$\frac{3 (y^{2}) + 0}{3 y^{2} t}$

خطوة 5.3.2.2

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$\frac{3 (y^{2}) + 3 \cdot 0}{3 y^{2} t}$

خطوة 5.3.2.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (y^{2}) + 3 (0)$ .

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 y^{2} t}$

خطوة 5.3.2.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $3 y^{2} t$ .

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

خطوة 5.3.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

خطوة 5.3.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2} + 0}{y^{2} t}$

خطوة 5.3.3

أضف $y^{2}$ و $0$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

خطوة 5.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

خطوة 5.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{t}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{t} d x}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1}{t} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق قاعدة الثابت.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{t} x + C}$

خطوة 6.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $\frac{1}{t}$ و $x$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t} + C}$

خطوة 6.2.2

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t}} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$ في عامل التكامل $e^{\frac{x}{t}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $y^{3} + 2 t$ في $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} + 2 t) e^{\frac{x}{t}} d t + 3 y^{2} t d y = 0$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $3 y^{2} t$ في $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $3 t e^{\frac{x}{t}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3 t e^{\frac{x}{t}}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \int y^{2} d y$

خطوة 9.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

خطوة 9.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أعِد كتابة $3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ بالصيغة $3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 9.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} \frac{3}{3} y^{3} + C$

خطوة 9.3.2.2

اجمع $\frac{3}{3}$ و $t$ .

$f (x, y) = \frac{3 t}{3} e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

خطوة 9.3.2.3

اجمع $\frac{3 t}{3}$ و $e^{\frac{x}{t}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

خطوة 9.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

خطوة 9.3.2.4.2

اقسِم $t e^{\frac{x}{t}}$ على $1$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $t y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $t e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}]$ .

$t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \frac{x}{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$t y^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.3.3

بما أن $\frac{1}{t}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{t}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.3.5

اضرب $\frac{1}{t}$ في $1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{t}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.3.6

اجمع $e^{\frac{x}{t}}$ و $\frac{1}{t}$ .

$t y^{3} \frac{e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.3.7

اجمع $t$ و $\frac{e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$y^{3} \frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.3.8

اجمع $y^{3}$ و $\frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$\frac{y^{3} (t e^{\frac{x}{t}})}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.3.9

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{3} t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.3.9.2

اقسِم $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ على $1$ .

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 12.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{\frac{x}{t}} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اطرح $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 13.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.2.1

اطرح $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ من $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}} + 0$

خطوة 13.1.2.2

أضف $2 t e^{\frac{x}{t}}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $2 t e^{\frac{x}{t}}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

خطوة 14.3

بما أن $2 t$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2 t$ خارج التكامل.

$g (x) = 2 t \int e^{\frac{x}{t}} d x$

خطوة 14.4

لنفترض أن $u = \frac{x}{t}$ . إذن $d u = \frac{1}{t} d x$ ، لذا $t d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

افترض أن $u = \frac{x}{t}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{t}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]$

خطوة 14.4.1.2

بما أن $\frac{1}{t}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{t}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 14.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{t} \cdot 1$

خطوة 14.4.1.4

اضرب $\frac{1}{t}$ في $1$ .

$\frac{1}{t}$

خطوة 14.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{t}} d u$

خطوة 14.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{t}$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} (1 t) d u$

خطوة 14.5.2

اضرب $t$ في $1$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} t d u$

خطوة 14.6

بما أن $t$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $t$ خارج التكامل.

$g (x) = 2 t (t \int e^{u} d u)$

خطوة 14.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.7.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t) \int e^{u} d u$

خطوة 14.7.2

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t^{1}) \int e^{u} d u$

خطوة 14.7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$g (x) = 2 t^{1 + 1} \int e^{u} d u$

خطوة 14.7.4

أضف $1$ و $1$ .

$g (x) = 2 t^{2} \int e^{u} d u$

خطوة 14.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$g (x) = 2 t^{2} (e^{u} + C)$

خطوة 14.9

بسّط.

$g (x) = 2 t^{2} e^{u} + C$

خطوة 14.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{t}$ .

$g (x) = 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$ .

$f (x, y) = t y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$