حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d u}{d t} = e^{2 u + 4 t}$

خطوة 1

لنفترض أن $v = e^{2 u + 4 t}$ . استبدِل $v$ بجميع حالات حدوث $e^{2 u + 4 t}$ .

$\frac{d u}{d t} = v$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d v}{d t}$ بإيجاد مشتقة $e^{2 u + 4 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = 2 u + 4 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 u + 4 t$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 u + 4 t]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 u + 4 t]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 u + 4 t$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} \frac{d}{d t} [2 u + 4 t]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 u + 4 t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 u] + \frac{d}{d t} [4 t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (\frac{d}{d t} [2 u] + \frac{d}{d t} [4 t])$

خطوة 2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 u$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [u]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 \frac{d}{d t} [u] + \frac{d}{d t} [4 t])$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d t} [u]$ بالصيغة $u'$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + \frac{d}{d t} [4 t])$

خطوة 2.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $4 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + 4 \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + 4 \cdot 1)$

خطوة 2.7

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + 4)$

خطوة 3

عوّض بقيمة $e^{2 u + 4 t}$ التي تساوي $v$ .

$\frac{d v}{d t} = v (2 u' + 4)$

خطوة 4

عوّض بالمشتق مجددًا في المعادلة التفاضلية.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} - 2 = v$

خطوة 5

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد قيمة $\frac{d v}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} = v + 2$

خطوة 5.1.2

اضرب كلا الطرفين في $2 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} (2 v) = (v + 2) (2 v)$

خطوة 5.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

بسّط $\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} (2 v)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} v = (v + 2) (2 v)$

خطوة 5.1.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 v$ .

$2 \frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} v = (v + 2) (2 v)$

خطوة 5.1.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} v = (v + 2) (2 v)$

خطوة 5.1.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + 2) (2 v)$

خطوة 5.1.3.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + 2) (2 v)$

خطوة 5.1.3.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d t} = (v + 2) (2 v)$

خطوة 5.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.2.1

بسّط $(v + 2) (2 v)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d v}{d t} = v (2 v) + 2 (2 v)$

خطوة 5.1.3.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.2.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d v}{d t} = 2 v \cdot v + 2 (2 v)$

خطوة 5.1.3.2.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{d v}{d t} = 2 v \cdot v + 4 v$

خطوة 5.1.3.2.1.3

اضرب $v$ في $v$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.2.1.3.1

انقُل $v$ .

$\frac{d v}{d t} = 2 (v \cdot v) + 4 v$

خطوة 5.1.3.2.1.3.2

اضرب $v$ في $v$ .

$\frac{d v}{d t} = 2 v^{2} + 4 v$

خطوة 5.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{2 v^{2} + 4 v}$ .

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{2 v^{2} + 4 v} (2 v^{2} + 4 v)$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2 v^{2} + 4 v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{2 v^{2} + 4 v} (2 v^{2} + 4 v)$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d t} = 1$

خطوة 5.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} d v = 1 d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{2 v^{2} + 4 v} d v = \int d t$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

أخرِج العامل $2 v$ من $2 v^{2} + 4 v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1.1

أخرِج العامل $2 v$ من $2 v^{2}$ .

$\frac{1}{2 v \cdot v + 4 v}$

خطوة 6.2.1.1.1.2

أخرِج العامل $2 v$ من $4 v$ .

$\frac{1}{2 v \cdot v + 2 v \cdot 2}$

خطوة 6.2.1.1.1.3

أخرِج العامل $2 v$ من $2 v \cdot v + 2 v \cdot 2$ .

$\frac{1}{2 v (v + 2)}$

خطوة 6.2.1.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $2 v (v + 2)$ .

$\frac{1 (2 v (v + 2))}{2 v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (2 v (v + 2))}{2 v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (v (v + 2))}{v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (v (v + 2))}{v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (v + 2)}{v + 2} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $v + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (v + 2)}{v + 2} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.1.7.1.2

اقسِم $A (2 (v + 2))$ على $1$ .

$1 = A (2 (v + 2)) + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.1.7.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 = 2 A (v + 2) + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.1.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = 2 A v + 2 A \cdot 2 + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.1.7.4

اضرب $2$ في $2$ .

$1 = 2 A v + 4 A + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.1.7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $v + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.7.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = 2 A v + 4 A + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.1.7.5.2

اقسِم $B (2 v)$ على $1$ .

$1 = 2 A v + 4 A + B (2 v)$

خطوة 6.2.1.1.7.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 = 2 A v + 4 A + 2 B v$

خطوة 6.2.1.1.8

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.8.1

انقُل $A$ .

$1 = 2 v A + 4 A + 2 B v$

خطوة 6.2.1.1.8.2

انقُل $B$ .

$1 = 2 v A + 4 A + 2 v B$

خطوة 6.2.1.1.8.3

انقُل $4 A$ .

$1 = 2 v A + 2 v B + 4 A$

خطوة 6.2.1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $v$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = 2 A + 2 B$

خطوة 6.2.1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $v$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = 4 A$

خطوة 6.2.1.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = 2 A + 2 B$

$1 = 4 A$

$0 = 2 A + 2 B$

$1 = 4 A$

خطوة 6.2.1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $1 = 4 A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$0 = 2 A + 2 B$

خطوة 6.2.1.3.1.2

اقسِم كل حد في $4 A = 1$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1.2.1

اقسِم كل حد في $4 A = 1$ على $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

خطوة 6.2.1.3.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

خطوة 6.2.1.3.1.2.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

خطوة 6.2.1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $\frac{1}{4}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = 2 A + 2 B$ بـ $\frac{1}{4}$ .

$0 = 2 (\frac{1}{4}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.2.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$0 = 2 (\frac{1}{2 (2)}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.1.3.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 = 2 (\frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.1.3.2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.1.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $0 = \frac{1}{2} + 2 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} + 2 B = 0$ .

$\frac{1}{2} + 2 B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.1.3.3.2

اطرح $\frac{1}{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.1.3.3.3

اقسِم كل حد في $2 B = - \frac{1}{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.3.3.1

اقسِم كل حد في $2 B = - \frac{1}{2}$ على $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.1.3.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.1.3.3.3.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.1.3.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.3.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$B = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.1.3.3.3.3.2

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.3.3.3.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$B = - \frac{1}{2 \cdot 2}$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.1.3.3.3.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.1.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = - \frac{1}{4} A = \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.1.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$B = - \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{v} + \frac{- \frac{1}{4}}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.5.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{v} + \frac{- \frac{1}{4}}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.5.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{4 v} + \frac{- \frac{1}{4}}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{4 v} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{v + 2}$

خطوة 6.2.1.5.4

اضرب $\frac{1}{v + 2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 v} - \frac{1}{(v + 2) \cdot 4}$

خطوة 6.2.1.5.5

انقُل $4$ إلى يسار $v + 2$ .

$\int \frac{1}{4 v} - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

خطوة 6.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{4 v} d v + \int - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

خطوة 6.2.3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

خطوة 6.2.4

تكامل $\frac{1}{v}$ بالنسبة إلى $v$ هو $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

خطوة 6.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

خطوة 6.2.6

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{v + 2} d v) = \int d t$

خطوة 6.2.7

لنفترض أن $u_{2} = v + 2$ . إذن $d u_{2} = d v$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

افترض أن $u_{2} = v + 2$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1.1

أوجِد مشتقة $v + 2$ .

$\frac{d}{d v} [v + 2]$

خطوة 6.2.7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $v + 2$ بالنسبة إلى $v$ هو $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$

خطوة 6.2.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [2]$

خطوة 6.2.7.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $v$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 6.2.7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 6.2.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

خطوة 6.2.8

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

خطوة 6.2.9

بسّط.

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

خطوة 6.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = t + C_{4}$

خطوة 6.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) = t + C$

خطوة 7

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) = t + C$

خطوة 7.1.1.2

اجمع $\ln (| u_{2} |)$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = t + C$

خطوة 7.2

اضرب كل حد في $\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = t + C$ في $4$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب كل حد في $\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = t + C$ في $4$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (| v |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

خطوة 7.2.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

خطوة 7.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{4}$ إلى بسط الكسر.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

خطوة 7.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

خطوة 7.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = t \cdot 4 + C \cdot 4$

خطوة 7.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1

انقُل $4$ إلى يسار $t$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 4 \cdot t + C \cdot 4$

خطوة 7.2.3.1.2

انقُل $4$ إلى يسار $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 4 t + 4 C$

خطوة 7.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 4 t + 4 C$

خطوة 7.4

لإيجاد قيمة $v$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{4 t + 4 C}$

خطوة 7.5

أعِد كتابة $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 4 t + 4 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{4 t + 4 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

خطوة 7.6

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{4 t + 4 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{4 t + 4 C}$

خطوة 7.6.2

اضرب كلا الطرفين في $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$

خطوة 7.6.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| u_{2} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$

خطوة 7.6.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| v | = e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$

خطوة 7.6.4

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{4 t + 4 C}$

خطوة 7.6.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{4 t + 4 C}$

خطوة 8

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط ثابت التكامل.

$v = \pm | u_{2} | e^{4 t + C}$

خطوة 8.2

أعِد كتابة $e^{4 t + C}$ بالصيغة $e^{4 t} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{4 t} e^{C})$

خطوة 8.3

أعِد ترتيب $e^{4 t}$ و $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{4 t})$

خطوة 8.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$v = C | u_{2} | e^{4 t}$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $e^{2 u + 4 t}$ .

$e^{2 u + 4 t} = C | u_{2} | e^{4 t}$