حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 7 y + 4}{6 x - 7}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{- 7 y + 4}$ .

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 7 y + 4} \cdot \frac{- 7 y + 4}{6 x - 7}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب $\frac{1}{- 7 y + 4}$ في $\frac{- 7 y + 4}{6 x - 7}$ .

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{- 7 y + 4}{(- 7 y + 4) (6 x - 7)}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $- 7 y + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{- 7 y + 4}{(- 7 y + 4) (6 x - 7)}$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 x - 7}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{- 7 y + 4} d y = \frac{1}{6 x - 7} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{- 7 y + 4} d y = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = - 7 y + 4$ . إذن $d u_{1} = - 7 d y$ ، لذا $- \frac{1}{7} d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = - 7 y + 4$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $- 7 y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [- 7 y + 4]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 7 y + 4$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [- 7 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [- 7 y] + \frac{d}{d y} [4]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 7 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 7 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 7 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 7 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4]$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $- 7$ في $1$ .

$- 7 + \frac{d}{d y} [4]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.4.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$- 7 + 0$

خطوة 2.2.1.1.4.2

أضف $- 7$ و $0$ .

$- 7$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 7} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{7}) d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{7}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 7} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

خطوة 2.2.2.3

انقُل $7$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{7 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{7 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{7}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{7} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$- \frac{1}{7} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- 7 y + 4$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = 6 x - 7$ . إذن $d u_{2} = 6 d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = 6 x - 7$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $6 x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [6 x - 7]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.3.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.3.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.3.1.1.3.3

اضرب $6$ في $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 + 0$

خطوة 2.3.1.1.4.2

أضف $6$ و $0$ .

$6$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{6} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 6} d u_{2}$

خطوة 2.3.2.2

انقُل $6$ إلى يسار $u_{2}$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{6 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $6 x - 7$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) = \frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $- 7$ .

$- 7 (- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |)) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $- 7 (- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\ln (| - 7 y + 4 |)$ و $\frac{1}{7}$ .

$- 7 (- \frac{\ln (| - 7 y + 4 |)}{7}) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (| - 7 y + 4 |)}{7}$ إلى بسط الكسر.

$- 7 \frac{- \ln (| - 7 y + 4 |)}{7} = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $7$ من $- 7$ .

$7 (- 1) \frac{- \ln (| - 7 y + 4 |)}{7} = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$7 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 7 y + 4 |)}{7} = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - \ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.3.2

اضرب $\ln (| - 7 y + 4 |)$ في $1$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $- 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $\ln (| 6 x - 7 |)$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{\ln (| 6 x - 7 |)}{6} + C)$

خطوة 3.2.2.1.2

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{\ln (| 6 x - 7 |)}{6} + C \cdot \frac{6}{6})$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اجمع $C$ و $\frac{6}{6}$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{\ln (| 6 x - 7 |)}{6} + \frac{C \cdot 6}{6})$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 \frac{\ln (| 6 x - 7 |) + C \cdot 6}{6}$

خطوة 3.2.2.1.4

انقُل $6$ إلى يسار $C$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 \frac{\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C}{6}$

خطوة 3.2.2.1.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.5.1

اجمع $- 7$ و $\frac{\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C}{6}$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = \frac{- 7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}$

خطوة 3.2.2.1.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| - 7 y + 4 |)} = e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (| - 7 y + 4 |) = - \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} = | - 7 y + 4 |$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| - 7 y + 4 | = e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$ .

$| - 7 y + 4 | = e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$

خطوة 3.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$- 7 y + 4 = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$

خطوة 3.5.3

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- 7 y = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} - 4$

خطوة 3.5.4

اقسِم كل حد في $- 7 y = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} - 4$ على $- 7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اقسِم كل حد في $- 7 y = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} - 4$ على $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7} + \frac{- 4}{- 7}$

خطوة 3.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7} + \frac{- 4}{- 7}$

خطوة 3.5.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7} + \frac{- 4}{- 7}$

خطوة 3.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1.1

بسّط $\frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{7} + \frac{- 4}{- 7}$

خطوة 3.5.4.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{7} + \frac{4}{7}$

خطوة 3.5.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} + 4}{7}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + C)}{6}} + 4}{7}$