حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب أسلوب برنولي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $x$ من $4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x}$

خطوة 1.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x^{1}}$

خطوة 1.4.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

خطوة 1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

خطوة 1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}}{1}$

خطوة 1.4.5

اقسِم $4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.5

أخرِج العامل $y$ من $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.6

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

لحل المعادلة التفاضلية، افترض أن $v = y^{1 - n}$ حيث $n$ هو أُس $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

$y = v^{2}$

خطوة 4

خُذ مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ .

$y' = v^{2}$

خطوة 5

خُذ مشتق $v^{2}$ بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

خُذ مشتق $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

خطوة 5.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

خطوة 5.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$y' = 2 v v'$

خطوة 6

عوّض بـ $2 v v'$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $v^{2}$ عن $y$ في المعادلة الأصلية $\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اقسِم كل حد في $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ على $2 v$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

اقسِم كل حد في $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ على $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.2.2

اقسِم $\frac{d v}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $v^{2}$ و $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.3.1

أخرِج العامل $v$ من $\frac{- 2}{x} v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $v$ من $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.4

اجمع $\frac{- 2}{x}$ و $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- \frac{2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.7.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2 v}{x}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.7.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.7.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.7.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 (v)}$

خطوة 7.1.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{v}$

خطوة 7.1.1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.1

اضرب الأُسس في ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

خطوة 7.1.1.3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

خطوة 7.1.1.3.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{1}}{v}$

خطوة 7.1.1.3.3.2

بسّط.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

خطوة 7.1.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

خطوة 7.1.1.3.4.2

اقسِم $2 x^{2}$ على $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = 2 x^{2}$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $v$ من $- \frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = 2 x^{2}$

خطوة 7.1.3

أعِد ترتيب $v$ و $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = 2 x^{2}$

خطوة 7.2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

خطوة 7.2.2

أوجِد تكامل $- \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 7.2.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 7.2.2.3

بسّط.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

خطوة 7.2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \ln (x)}$

خطوة 7.2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

خطوة 7.2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 1}$

خطوة 7.2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 7.3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

خطوة 7.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

خطوة 7.3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

خطوة 7.3.2.3

اجمع $\frac{1}{x}$ و $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

خطوة 7.3.2.4

اضرب $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.4.1

اضرب $\frac{v}{x}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

خطوة 7.3.2.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

خطوة 7.3.2.4.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

خطوة 7.3.2.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

خطوة 7.3.2.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

خطوة 7.3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x^{2}$

خطوة 7.3.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} x^{2}$

خطوة 7.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

خطوة 7.3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

خطوة 7.3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 x$

خطوة 7.4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = 2 x$

خطوة 7.5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int 2 x d x$

خطوة 7.6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x} v = \int 2 x d x$

خطوة 7.7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x} v = 2 \int x d x$

خطوة 7.7.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 7.7.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 7.7.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

خطوة 7.7.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

خطوة 7.7.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x} v = 1 x^{2} + C$

خطوة 7.7.3.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{x} v = x^{2} + C$

خطوة 7.8

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $v$ .

$\frac{v}{x} = x^{2} + C$

خطوة 7.8.2

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

خطوة 7.8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

خطوة 7.8.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$v = (x^{2} + C) x$

خطوة 7.8.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.2.1

بسّط $(x^{2} + C) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$v = x^{2} x + C x$

خطوة 7.8.3.2.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.2.1.2.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.2.1.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$v = x^{2} x^{1} + C x$

خطوة 7.8.3.2.1.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$v = x^{2 + 1} + C x$

خطوة 7.8.3.2.1.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$v = x^{3} + C x$

خطوة 8

عوّض بقيمة $v$ التي تساوي $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + C x$