حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (y^{2} - 1) d y - y (x^{2} - 1) d x = 0$

خطوة 1

أضف $y (x^{2} - 1) d x$ إلى كلا المتعادلين.

$x (y^{2} - 1) d y = y (x^{2} - 1) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} (y^{2} - 1) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{1}{y}$ في $y^{2} - 1$ .

$\frac{y^{2} - 1}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x} (x^{2} - 1) d x$

خطوة 3.5

اضرب $\frac{1}{x}$ في $x^{2} - 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

خطوة 3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x} d x$

خطوة 3.6.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{y (y - 1) + 1 (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.4

أعِد ترتيب $y$ و $- 1$ .

$\int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.5

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{y^{1} y - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.6

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{y^{1 + 1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.1

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.8.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.8.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.9

أضف $- 1 y$ و $y$ .

$\int \frac{y^{2} + 0 - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.10

اطرح $1$ من $0$ .

$\int \frac{y^{2} - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.11

اقسِم $y^{2} - 1$ على $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.11.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

خطوة 4.2.11.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$

خطوة 4.2.11.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

خطوة 4.2.11.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y^{2} + 0$

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

خطوة 4.2.11.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

خطوة 4.2.11.6

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

خطوة 4.2.11.7

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int y - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.12

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y d y + \int - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.14

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.15

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (\ln (| y |) + C_{2}) = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.2.16

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{x} d x$

خطوة 4.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

خطوة 4.3.4

أعِد ترتيب $x$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

خطوة 4.3.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

خطوة 4.3.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

خطوة 4.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

خطوة 4.3.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.1

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

خطوة 4.3.8.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

خطوة 4.3.8.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{x} d x$

خطوة 4.3.9

أضف $- 1 x$ و $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} + 0 - 1}{x} d x$

خطوة 4.3.10

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

خطوة 4.3.11

اقسِم $x^{2} - 1$ على $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.11.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

خطوة 4.3.11.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

خطوة 4.3.11.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

خطوة 4.3.11.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

خطوة 4.3.11.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

خطوة 4.3.11.6

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

خطوة 4.3.11.7

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int x - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.12

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.14

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.15

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - (\ln (| x |) + C_{5})$

خطوة 4.3.16

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{6}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$