حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (\frac{d y}{d x}) = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$

خطوة 1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

خطوة 1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

خطوة 1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

خطوة 1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

خطوة 1.3.1.2

اقسِم $2 e^{- \frac{y}{x}}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 e^{- \frac{y}{x}}$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2 e^{- V}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 e^{- V}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 e^{- V} - V$

خطوة 6.1.1.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $V + 2 e^{- V} - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V} + 0$

خطوة 6.1.1.1.2.2

أضف $2 e^{- V}$ و $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$

خطوة 6.1.1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

خطوة 6.1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{- V}}$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{- V}} \cdot \frac{2 e^{- V}}{x}$

خطوة 6.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

اجمع.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

خطوة 6.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

خطوة 6.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cdot (2)}{x}$

خطوة 6.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

خطوة 6.1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{e^{- V}} d V = \frac{2}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{e^{- V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{- V}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int 1 {(e^{- V})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{- V})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- V \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.2.1.2

اضرب $- V \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int 1 e^{1 V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.2.1.2.2

اضرب $V$ في $1$ .

$\int 1 e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.2.2

اضرب $e^{V}$ في $1$ .

$\int e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

تكامل $e^{V}$ بالنسبة إلى $V$ هو $e^{V}$ .

$e^{V} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 6.2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{V} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{V} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 6.2.3.3

بسّط.

$e^{V} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$e^{V} = 2 \ln (| x |) + C$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{V}) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

خطوة 6.3.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

وسّع $\ln (e^{V})$ بنقل $V$ خارج اللوغاريتم.

$V \ln (e) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

خطوة 6.3.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$V \cdot 1 = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

خطوة 6.3.2.3

اضرب $V$ في $1$ .

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

خطوة 6.3.3

وسّع $\ln (x^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$V = \ln (2 \ln (x) + C)$

خطوة 6.3.4

بسّط $2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (\ln (x^{2}) + C) x$ .

$y = x \ln (\ln (x^{2}) + C)$