حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x (y d) x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

خطوة 1.2

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

خطوة 1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y^{2} - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} - x^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.2.2

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - (2 x)$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 x$

خطوة 2.4

اطرح $2 x$ من $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2 x$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = - 2 x$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 x = - 2 x$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 2 x$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 x$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x y$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{2 x y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x - 1 \cdot 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

خطوة 4.3.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

خطوة 4.3.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (- 2 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{x (- 2 - 2)}{2 x y}$

خطوة 4.3.2.3

اطرح $2$ من $- 2$ .

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 4}{2 y}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

خطوة 4.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (y)}$

خطوة 4.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

خطوة 4.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{y}$

خطوة 4.3.5

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x y$ .

$- \frac{2}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| y |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $2 x y d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $2 x y$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$2 x y \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 x y$ .

$y (2 x) \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$2 x \frac{1}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.3

اجمع $2$ و $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.4

اجمع $x$ و $\frac{2}{y}$ .

$\frac{x \cdot 2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.5

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $y^{2} - x^{2}$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.7

اضرب $y^{2} - x^{2}$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.8

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = x$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{2 x}{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $\frac{2}{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{y}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 8.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $\frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $\frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 8.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اضرب $\frac{2}{y}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y \cdot 2} x^{2} + C$

خطوة 8.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot y} x^{2} + C$

خطوة 8.3.2.3

اضرب $2$ في $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

خطوة 8.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

خطوة 8.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{2} + C$

خطوة 8.3.2.5

اجمع $\frac{1}{y}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} + g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{2}}{y} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2}}{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y}$ بالصيغة $y^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

خطوة 11.5.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اطرح $\frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + (- y - x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2

وسّع $(- y - x) (y - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y (y - x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.3.1.1

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.3.1.1.1

انقُل $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y \cdot y) - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.1.1.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.1.4

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.1.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.3.1.6.1

انقُل $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.1.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.1.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.1.8

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.2

اطرح $x y$ من $y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.3.2.1

أعِد ترتيب $y$ و $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x y - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.2.2

اطرح $x y$ من $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 0 + x^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.3

أضف $- y^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $- x^{2} - y^{2} + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.1

أضف $- x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2} + 0}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2

أضف $- y^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

خطوة 12.1.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 1$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $1$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

خطوة 13.3

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = y + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + y + C$