حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x^{2} - 1} y = 0$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{4}{x^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{4}{x^{2} - 1} d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $\frac{4}{x^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$e^{4 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x}$

خطوة 1.2.2

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

خطوة 1.2.2.1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 1.2.2.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

خطوة 1.2.2.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.1.7.1.2

اقسِم $(A) (x - 1)$ على $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.1.7.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.1.7.4

أعِد كتابة $- 1 A$ بالصيغة $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.1.7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.7.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.1.7.5.2

اقسِم $(B) (x + 1)$ على $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

خطوة 1.2.2.1.7.6

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

خطوة 1.2.2.1.7.7

اضرب $B$ في $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

خطوة 1.2.2.1.8

انقُل $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

خطوة 1.2.2.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 1.2.2.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = - 1 A + B$

خطوة 1.2.2.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

خطوة 1.2.2.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $0 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

خطوة 1.2.2.3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

خطوة 1.2.2.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $1 = - 1 A + B$ بـ $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

خطوة 1.2.2.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.2.2.1

بسّط $- 1 (- B) + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.2.2.1.1

اضرب $- 1 (- B)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.2.2.1.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

خطوة 1.2.2.3.2.2.1.1.2

اضرب $B$ في $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

خطوة 1.2.2.3.2.2.1.2

أضف $B$ و $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

خطوة 1.2.2.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $1 = 2 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

خطوة 1.2.2.3.3.2

اقسِم كل حد في $2 B = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.3.2.1

اقسِم كل حد في $2 B = 1$ على $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

خطوة 1.2.2.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

خطوة 1.2.2.3.3.2.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

خطوة 1.2.2.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $\frac{1}{2}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = - B$ بـ $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.2.3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.2.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.2.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.5.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.5.2

اضرب $\frac{1}{x + 1}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.5.3

انقُل $2$ إلى يسار $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.5.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

خطوة 1.2.2.5.5

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x - 1}$ .

$e^{4 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x}$

خطوة 1.2.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$e^{4 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

خطوة 1.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{4 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

خطوة 1.2.5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{4 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

خطوة 1.2.6

لنفترض أن $u_{1} = x + 1$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

افترض أن $u_{1} = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.2.6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.2.6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.2.6.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.2.6.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2.6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

خطوة 1.2.7

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

خطوة 1.2.8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)}$

خطوة 1.2.9

لنفترض أن $u_{2} = x - 1$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.1

افترض أن $u_{2} = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.2.9.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.2.9.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.2.9.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2.9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})}$

خطوة 1.2.10

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))}$

خطوة 1.2.11

بسّط.

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

خطوة 1.2.12

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.12.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + 1$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

خطوة 1.2.12.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 1$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

خطوة 1.2.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.13.1.1

اجمع $\ln (| x + 1 |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{4 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

خطوة 1.2.13.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| x - 1 |)$ .

$e^{4 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C}$

خطوة 1.2.13.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{4 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

خطوة 1.2.13.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.13.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$e^{2 (2) \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

خطوة 1.2.13.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{2 \cdot 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

خطوة 1.2.13.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{2 (- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)) + C}$

خطوة 1.2.13.4

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{2 (- \ln (| x + 1 |)) + 2 \ln (| x - 1 |) + C}$

خطوة 1.2.13.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 2 \ln (x + 1) + 2 \ln (x - 1)}$

خطوة 1.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2}) + \ln ({(x - 1)}^{2})}$

خطوة 1.5

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2} {(x - 1)}^{2})}$

خطوة 1.6

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

${(x + 1)}^{- 2} {(x - 1)}^{2}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2}$

خطوة 1.8

أعِد كتابة ${(x - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ((x - 1) (x - 1))$

خطوة 1.9

وسّع $(x - 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

خطوة 1.9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

خطوة 1.9.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.10

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.10.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.10.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.10.1.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

خطوة 1.10.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - x + 1)$

خطوة 1.10.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - 2 x + 1)$

خطوة 1.11

اضرب $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ في $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.12

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.12.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 1.12.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.12.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1^{2}} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2.2.2

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2.3

اجمع $\frac{4}{(x + 1) (x - 1)}$ و $y$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{4 y}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2.4

اجمع.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{2} ((x + 1) (x - 1))} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2.5

اضرب ${(x + 1)}^{2}$ في $x + 1$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

انقُل $x + 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{(x + 1) {(x + 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2.5.2

اضرب $x + 1$ في ${(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{1 + 2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{3} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ ${(x - 1)}^{2}$ و $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أخرِج العامل $x - 1$ من ${(x - 1)}^{2} (4 y)$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{{(x + 1)}^{3} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

أخرِج العامل $x - 1$ من ${(x + 1)}^{3} (x - 1)$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{(x - 1) {(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{(x - 1) {(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) (4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.2.7

انقُل $4$ إلى يسار $x - 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.3

لكتابة $\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك ${(x + 1)}^{3}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب $\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}}$ في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (x + 1)} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.4.2

اضرب ${(x + 1)}^{2}$ في $x + 1$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب ${(x + 1)}^{2}$ في $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2 + 1}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.4.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أخرِج العامل $x - 1$ من ${(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 (x - 1) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

أخرِج العامل $x - 1$ من ${(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + 4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.6.1.2

أخرِج العامل $x - 1$ من $4 (x - 1) y$ .

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + (x - 1) (4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.6.1.3

أخرِج العامل $x - 1$ من $(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + (x - 1) (4 y)$ .

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - 1) ((x \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.6.3

أعِد كتابة $- 1 \frac{d y}{d x}$ بالصيغة $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) ((x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.6.4

وسّع $(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} (x + 1) - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.6.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.6.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.6.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{(x - 1) (x \cdot x \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.6.5.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.6.5.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.6.5.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.6.5.2

اطرح $\frac{d y}{d x} x$ من $x \frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.2.1

انقُل $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - 1 x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.6.5.2.2

اطرح $x \frac{d y}{d x}$ من $x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + 0 - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.6.5.3

أضف $x^{2} \frac{d y}{d x}$ و $0$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.7

اضرب $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ في $0$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y] = 0$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int 0 d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = \int 0 d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = 0 + C$

خطوة 6.2

أضف $0$ و $C$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = C$

خطوة 7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ و $y$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} y}{{(x + 1)}^{2}} = C$

خطوة 7.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{{(x - 1)}^{2} y}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = C$

خطوة 7.2

اضرب كلا الطرفين في ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

خطوة 7.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

خطوة 7.4

اقسِم كل حد في $y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$ على ${(x - 1)}^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اقسِم كل حد في $y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$ على ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 7.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 7.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$