حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x} = y^{2} + 2$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x} = y^{2} + 2$ على $2 y \sqrt{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x} = y^{2} + 2$ على $2 y \sqrt{x}$ .

$\frac{2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.2.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y \sqrt{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.2

اضرب $\frac{y}{2 \sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.3.1

اضرب $\frac{y}{2 \sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.3.2

انقُل $\sqrt{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.3.3

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.3.4

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.3.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.3.7

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.3.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.3.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.3.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.3.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.3.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.3.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{1}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.3.7.5

بسّط.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{1}{y \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.5

اضرب $\frac{1}{y \sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{1}{y \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.6

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.6.1

اضرب $\frac{1}{y \sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y \sqrt{x} \sqrt{x}}$

خطوة 1.1.3.1.6.2

انقُل $\sqrt{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

خطوة 1.1.3.1.6.3

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

خطوة 1.1.3.1.6.4

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

خطوة 1.1.3.1.6.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

خطوة 1.1.3.1.6.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y {\sqrt{x}}^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.6.7

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.6.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.6.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.1.3.1.6.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.1.3.1.6.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.6.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.1.3.1.6.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{1}}$

خطوة 1.1.3.1.6.7.5

بسّط.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لكتابة $\frac{y \sqrt{x}}{2 x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{\sqrt{x}}{y x}$

خطوة 1.2.2

لكتابة $\frac{\sqrt{x}}{y x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{\sqrt{x}}{y x} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 1.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $2 x y$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب $\frac{y \sqrt{x}}{2 x}$ في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y}{2 x y} + \frac{\sqrt{x}}{y x} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 1.2.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{x}}{y x}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y}{2 x y} + \frac{\sqrt{x} \cdot 2}{y x \cdot 2}$

خطوة 1.2.3.3

أعِد ترتيب عوامل $y x \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y}{2 x y} + \frac{\sqrt{x} \cdot 2}{2 x y}$

خطوة 1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y + \sqrt{x} \cdot 2}{2 x y}$

خطوة 1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

أخرِج العامل $\sqrt{x}$ من $y \sqrt{x} y + \sqrt{x} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1.1

أخرِج العامل $\sqrt{x}$ من $y \sqrt{x} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y \cdot y) + \sqrt{x} \cdot 2}{2 x y}$

خطوة 1.2.5.1.2

أخرِج العامل $\sqrt{x}$ من $\sqrt{x} \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y \cdot y) + \sqrt{x} (2)}{2 x y}$

خطوة 1.2.5.1.3

أخرِج العامل $\sqrt{x}$ من $\sqrt{x} (y \cdot y) + \sqrt{x} (2)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y \cdot y + 2)}{2 x y}$

خطوة 1.2.5.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{2 x y}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y^{2} + 2}{y}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{y^{2} + 2}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} (\frac{\sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y^{2} + 2}{y})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $\frac{\sqrt{x}}{2 x}$ في $\frac{y^{2} + 2}{y}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{2 x y}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 x y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{y (2 x)}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{y (2 x)}$

خطوة 1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{2 x}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $y^{2} + 2$ من $\sqrt{x} (y^{2} + 2)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 2} \cdot \frac{(y^{2} + 2) \sqrt{x}}{2 x}$

خطوة 1.5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 2} \cdot \frac{(y^{2} + 2) \sqrt{x}}{2 x}$

خطوة 1.5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = y^{2} + 2$ . إذن $d u = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = y^{2} + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 2]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 y + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $2 y$ و $0$ .

$2 y$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{2} + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 2.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

خطوة 2.3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.2.2.2

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.1

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.2.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.2.2.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.2.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.2.2.2.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.2.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.2.3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.2.3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 2.3.2.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = 1 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.3

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) = x^{\frac{1}{2}} + C$