حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x e^{x}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{2 x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (x e^{x})$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (x e^{x})$

خطوة 2.3

اضرب $e^{2 x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

انقُل $e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x} e^{2 x} x$

خطوة 2.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x + 2 x} x$

خطوة 2.3.3

أضف $x$ و $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{3 x} x$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{3 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{3 x}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{3 x}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{3 x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{2 x} y = \int x e^{3 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{3 x}$ .

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$e^{2 x} y = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

خطوة 6.2.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

خطوة 6.3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)$

خطوة 6.4

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 6.4.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 6.4.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 6.5

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u$

خطوة 6.6

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

خطوة 6.7.2

اضرب $3$ في $3$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

خطوة 6.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

خطوة 6.9

أعِد كتابة $\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

خطوة 6.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$ على $e^{2 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$ على $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{3 x}$ و $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $\frac{1}{3} x e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 7.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 7.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 7.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{x}}{1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 7.3.1.1.2.4

اقسِم $\frac{1}{3} x e^{x}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{3} x e^{x} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب $\frac{1}{3} x e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x$ .

$y = \frac{x}{3} e^{x} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 7.3.1.2.2

اجمع $\frac{x}{3}$ و $e^{x}$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 7.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $e^{3 x}$ و $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.3.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $- \frac{1}{9} e^{3 x}$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 7.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.3.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 7.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 7.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{- \frac{1}{9} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 7.3.1.3.2.4

اقسِم $- \frac{1}{9} e^{x}$ على $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} - \frac{1}{9} e^{x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

خطوة 7.3.1.4

اجمع $e^{x}$ و $\frac{1}{9}$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} - \frac{e^{x}}{9} + \frac{C}{e^{2 x}}$