حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $3 x^{4}$ من $3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $3 x^{4}$ من $3 x^{4} y^{6}$ .

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) - 6 x^{4}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $3 x^{4}$ من $- 6 x^{4}$ .

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $3 x^{4}$ من $3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$ .

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6} - 2)$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y^{6} - 2}$ .

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{6} - 2} (3 x^{4} (y^{6} - 2))$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 \frac{1}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

خطوة 1.3.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{y^{6} - 2}$ .

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

خطوة 1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{6} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أخرِج العامل $y^{6} - 2$ من $x^{4} (y^{6} - 2)$ .

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

خطوة 1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

خطوة 1.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 x^{4}$

خطوة 1.4

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = 3 x^{4} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = \int 3 x^{4} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{1}{y^{6} - 2}$ و $y^{5}$ .

$\int \frac{y^{5}}{y^{6} - 2} d y = \int 3 x^{4} d x$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = y^{6} - 2$ . إذن $d u = 6 y^{5} d y$ ، لذا $\frac{1}{6} d u = y^{5} d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u = y^{6} - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $y^{6} - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} - 2]$

خطوة 2.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{6} - 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$6 y^{5} + \frac{d}{d y} [- 2]$

خطوة 2.2.2.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$6 y^{5} + 0$

خطوة 2.2.2.1.5

أضف $6 y^{5}$ و $0$ .

$6 y^{5}$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u = \int 3 x^{4} d x$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 6} d u = \int 3 x^{4} d x$

خطوة 2.2.3.2

انقُل $6$ إلى يسار $u$ .

$\int \frac{1}{6 u} d u = \int 3 x^{4} d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int 3 x^{4} d x$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 3 x^{4} d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$\frac{1}{6} \ln (| u |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{6} - 2$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 \int x^{4} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$ بالصيغة $3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \frac{3}{5} x^{5} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{3}{5} x^{5} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $6$ .

$6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |)) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $\ln (| y^{6} - 2 |)$ .

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{3}{5}$ و $x^{5}$ .

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3 x^{5}}{5} + C)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 \frac{3 x^{5}}{5} + 6 C$

خطوة 3.2.2.1.3

اضرب $6 \frac{3 x^{5}}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اجمع $6$ و $\frac{3 x^{5}}{5}$ .

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{6 (3 x^{5})}{5} + 6 C$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اضرب $3$ في $6$ .

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y^{6} - 2 |)} = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} = | y^{6} - 2 |$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$ .

$| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

خطوة 3.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y^{6} - 2 = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

خطوة 3.5.3

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y^{6} = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2$

خطوة 3.5.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C} + 2}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C}$ بالصيغة $e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C} + 2}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{\frac{18 x^{5}}{5}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{C} e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$

خطوة 4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \pm \sqrt[6]{C e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$