حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y) d x + (y - x) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)]$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{1}{x^{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2} y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

خطوة 1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

خطوة 1.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

خطوة 1.6

بما أن $- x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- x^{2} y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (- x^{2} \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.7.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.7.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

خطوة 1.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

خطوة 2.4

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = - 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- 1 = - 1$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = y - x$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

خطوة 5.4

بسّط.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

خطوة 8.2.2

بما أن $\frac{1}{2} y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{1}{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

خطوة 8.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

اطرح $y$ من $0$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

خطوة 8.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

بسّط $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{d g}{d x} - y = 0 + 0 + \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

خطوة 9.1.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

خطوة 9.1.1.3

اضرب $\frac{1}{x^{2}}$ في $1 - x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

خطوة 9.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أضف $y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

خطوة 9.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.2.1

قسّم الكسر $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ إلى كسرين.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

خطوة 9.1.2.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

خطوة 9.1.2.2.2.1.2

اقسِم $- 1 y$ على $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

خطوة 9.1.2.2.2.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

خطوة 9.1.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $\frac{1}{x^{2}} - y + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.3.1

أضف $- y$ و $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

خطوة 9.1.2.3.2

أضف $\frac{1}{x^{2}}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{1}{x^{2}}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 10.3

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 10.4

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 10.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

خطوة 10.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$g (x) = - x^{- 1} + C$

خطوة 10.6

أعِد كتابة $- x^{- 1} + C$ بالصيغة $- \frac{1}{x} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

خطوة 12

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$