حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + y}{x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

قسّم الكسر $\frac{x + y}{x}$ إلى كسرين.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{x} + \frac{y}{x})$

خطوة 1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{x} - \frac{y}{x}$

خطوة 1.1.3

أضف $\frac{y}{x}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = - \frac{x}{x}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $y$ من $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = - \frac{x}{x}$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = - \frac{x}{x}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (x)}$

خطوة 2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (- \frac{x}{x})$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (- \frac{x}{x})$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (- \frac{x}{x})$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (- \frac{x}{x})$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x \frac{d y}{d x} + y = - x \frac{x}{x}$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x \frac{d y}{d x} + y = - x \frac{x}{x}$

خطوة 3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d y}{d x} + y = - x \cdot 1$

خطوة 3.5

اضرب $- x$ في $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = - x$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x y] = - x$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int - x d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x y = \int - x d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x y = - \int x d x$

خطوة 7.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 7.3

أعِد كتابة $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$x y = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $x y = - \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $x y = - \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- \frac{1}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.3.1.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.3.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.3.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{- \frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.3.1.1.2.5

اقسِم $- \frac{1}{2} x$ على $1$ .

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

خطوة 8.3.1.2

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$