حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\sin (x)}{1 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

بسّط $\frac{\sin (x)}{1 + y} \frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

اجمع $\frac{\sin (x)}{1 + y}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{1 + y} = \cos (x)$

خطوة 1.1.1.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{1 + y}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} = \cos (x)$

خطوة 1.1.2

اضرب كلا الطرفين في $1 + y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} (1 + y) = \cos (x) (1 + y)$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} (1 + y) = \cos (x) (1 + y)$

خطوة 1.1.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) (1 + y)$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

بسّط $\cos (x) (1 + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) y$

خطوة 1.1.3.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.2.1

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) + \cos (x) y$

خطوة 1.1.3.2.1.2.2

أعِد ترتيب العوامل في $\cos (x) + \cos (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) + y \cos (x)$

خطوة 1.1.3.2.1.2.3

أعِد ترتيب $\cos (x)$ و $y \cos (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$

خطوة 1.1.4

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$ على $\sin (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$ على $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 1.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1

افصِل الكسور.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 1.1.4.3.1.2

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cot (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 1.1.4.3.1.3

اقسِم $y$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cot (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 1.1.4.3.1.4

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cot (x) + \cot (x)$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $\cot (x)$ من $y \cot (x) + \cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $\cot (x)$ من $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) y + \cot (x)$

خطوة 1.2.2

اضرب في $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) y + \cot (x) \cdot 1$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $\cot (x)$ من $\cot (x) y + \cot (x) \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) (y + 1)$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\cot (x) (y + 1))$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $y + 1$ من $\cot (x) (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \cot (x))$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \cot (x))$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \cot (x)$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y + 1} d y = \cot (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \cot (x) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = y + 1$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = y + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \cot (x) d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \cot (x) d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \cot (x) d x$

خطوة 2.3

تكامل $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \ln (| \sin (x) |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| \sin (x) |) = C$

خطوة 3.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}) = C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |})} = e^{C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} = e^{C}$

خطوة 3.5.2

اضرب كلا الطرفين في $| \sin (x) |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} | \sin (x) | = e^{C} | \sin (x) |$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| \sin (x) |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} | \sin (x) | = e^{C} | \sin (x) |$

خطوة 3.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y + 1 | = e^{C} | \sin (x) |$

خطوة 3.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} | \sin (x) |$ .

$| y + 1 | = | \sin (x) | e^{C}$

خطوة 3.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | \sin (x) | e^{C}$

خطوة 3.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1

أعِد ترتيب العوامل في $\pm | \sin (x) | e^{C}$ .

$y + 1 = \pm e^{C} | \sin (x) |$

خطوة 3.5.4.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = \pm e^{C} | \sin (x) | - 1$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm C | \sin (x) | - 1$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C | \sin (x) | - 1$