حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x}{15 y^{2}} = \frac{d y}{d x}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اعكس الطرفين بحيث تصبح $\frac{d y}{d x}$ في الطرف الأيسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{15 y^{2}}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{15 y^{2}}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $15 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{y^{2} \cdot 15}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{y^{2} \cdot 15}$

خطوة 1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{15}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$y^{2} d y = \frac{x}{15} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x}{15} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x}{15} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{15}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{15}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{15} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{1}{15} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اضرب $\frac{1}{15}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $15$ في $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{30} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{30} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{30}$ و $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{30} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{30} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $30$ .

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 (10)} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 10} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{10} + 3 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لكتابة $3 K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{10}{10}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K \cdot \frac{10}{10}}$

خطوة 3.4.2

اجمع $3 K$ و $\frac{10}{10}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + \frac{3 K \cdot 10}{10}}$

خطوة 3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + 3 K \cdot 10}{10}}$

خطوة 3.4.4

اضرب $10$ في $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + 30 K}{10}}$

خطوة 3.4.5

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 30 K}{10}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$

خطوة 3.4.6

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$

خطوة 3.4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

خطوة 3.4.7.2

ارفع $\sqrt[3]{10}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

خطوة 3.4.7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1 + 2}}$

خطوة 3.4.7.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{3}}$

خطوة 3.4.7.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{10}}^{3}$ بالصيغة $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{10}$ في صورة $10^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{(10^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 3.4.7.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 3.4.7.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.7.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.4.7.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{1}}$

خطوة 3.4.7.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10}$

خطوة 3.4.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{10}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{10^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} \sqrt[3]{10^{2}}}{10}$

خطوة 3.4.8.2

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} \sqrt[3]{100}}{10}$

خطوة 3.4.9

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.9.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 30 K) \cdot 100}}{10}$

خطوة 3.4.9.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 30 K) \cdot 100}}{10}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{100 (x^{2} + 30 K)}}{10}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt[3]{100 (x^{2} + K)}}{10}$