حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{2}$ , $y (0) = 0$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int x d x}$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

خطوة 1.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

خطوة 2.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لنفترض أن $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ . إذن $d u_{1} = x d x$ ، لذا $\frac{1}{x} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

افترض أن $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 6.1.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 6.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x)$

خطوة 6.1.1.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.4.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x$

خطوة 6.1.1.4.2

اجمع $\frac{2}{2}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{2}$

خطوة 6.1.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2}$

خطوة 6.1.1.4.3.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int \sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 6.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = e^{u_{1}}$ و $d v = \sqrt{2 u_{1}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 6.3.2

اضرب $2$ في $3$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 6.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 6.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 6.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 6.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 6.3.4

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 6.3.5

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 6.4

بما أن $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ خارج التكامل.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 6.5.2

اضرب $2$ في $3$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 6.5.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 6.5.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 6.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 6.5.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 6.5.4

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 6.6

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$

خطوة 6.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

أعِد كتابة $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$ بالصيغة $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 6.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.1

اطرح $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ من $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

خطوة 6.7.2.2

أضف $0$ و $C$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ على $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ على $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ .

$0 = \frac{C}{e^{\frac{0^{2}}{2}}}$

خطوة 9

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$C = 0$

خطوة 10

عوّض بـ $0$ عن $C$ في $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $0$ .

$y = \frac{0}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 10.2

اقسِم $0$ على $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$y = 0$