حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{x} = e^{x} x^{3}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $- \frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{x}) = e^{x} x^{3}$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $y$ و $- \frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{x} y = e^{x} x^{3}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - \frac{3}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $- \frac{3}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 3 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 3}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{3}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

خطوة 3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{3}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

خطوة 3.2.4

اضرب $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اضرب $\frac{3 y}{x}$ في $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

خطوة 3.2.4.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

خطوة 3.2.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

خطوة 3.2.4.2.2

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $e^{x} x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} e^{x})$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} e^{x})$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = e^{x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = e^{x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int e^{x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int e^{x} d x$

خطوة 7

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = e^{x} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{x^{3}}$ و $y$ .

$\frac{y}{x^{3}} = e^{x} + C$

خطوة 8.2

اضرب كلا الطرفين في $x^{3}$ .

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (e^{x} + C) x^{3}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (e^{x} + C) x^{3}$

خطوة 8.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (e^{x} + C) x^{3}$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

بسّط $(e^{x} + C) x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = e^{x} x^{3} + C x^{3}$

خطوة 8.3.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x^{3} + C x^{3}$ .

$y = x^{3} e^{x} + C x^{3}$

خطوة 8.3.2.1.2.2

أعِد ترتيب $x^{3} e^{x}$ و $C x^{3}$ .

$y = C x^{3} + x^{3} e^{x}$