حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(3 y^{2} + 2 x y + 2 x) d x + (6 x y + x^{2} + 3) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y^{2} + 2 x y + 2 x]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x]$

خطوة 1.4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x + \frac{d}{d y} [2 x]$

خطوة 1.5

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x + 0$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أضف $6 y + 2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x$

خطوة 1.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 6 x y + x^{2} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y + x^{2} + 3]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x y + x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $6 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.3.3

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.4.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x + 0$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أضف $6 y + 2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 6 y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x + 6 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x + 6 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 6 y = 2 x + 6 y$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$2 x + 6 y = 2 x + 6 y$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} + 2 x y + 2 x d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} d x + \int 2 x y d x + \int 2 x d x$

خطوة 5.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + \int 2 x y d x + \int 2 x d x$

خطوة 5.3

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2 y$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y \int x d x + \int 2 x d x$

خطوة 5.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 x d x$

خطوة 5.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 \int x d x$

خطوة 5.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 5.7

بسّط.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

خطوة 5.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + C$

خطوة 5.8.2

اجمع $2$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

خطوة 5.8.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

خطوة 5.8.3.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x y + x^{2} + 3$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y^{2} x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x (2 y) + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

خطوة 8.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x y + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

خطوة 8.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 x y + x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

خطوة 8.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 x y + x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

خطوة 8.4.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$6 x y + x^{2} + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

خطوة 8.5

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$6 x y + x^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

خطوة 8.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$6 x y + x^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3$

خطوة 8.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

أضف $6 x y + x^{2}$ و $0$ .

$6 x y + x^{2} + \frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3$

خطوة 8.7.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} + 6 x y = 6 x y + x^{2} + 3$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} + 6 x y = 6 x y + x^{2} + 3 - x^{2}$

خطوة 9.1.2

اطرح $6 x y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3 - x^{2} - 6 x y$

خطوة 9.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $6 x y + x^{2} + 3 - x^{2} - 6 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + 0 + 3 - 6 x y$

خطوة 9.1.3.2

أضف $6 x y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + 3 - 6 x y$

خطوة 9.1.3.3

اطرح $6 x y$ من $6 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

خطوة 9.1.3.4

أضف $0$ و $3$ .

$\frac{d g}{d y} = 3$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $3$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 d y$

خطوة 10.3

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = 3 y + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + 3 y + C$