حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$10 x y y' = 1 - y^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اقسِم كل حد في $10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ على $10 x y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اقسِم كل حد في $10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ على $10 x y$ .

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

خطوة 2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

خطوة 2.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

خطوة 2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

خطوة 2.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

خطوة 2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

خطوة 2.1.2.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

خطوة 2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{10 x y}$

خطوة 2.1.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $10 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{y (10 x)}$

خطوة 2.1.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{y (10 x)}$

خطوة 2.1.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y}{10 x}$

خطوة 2.1.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y}{10 x}$

خطوة 2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لكتابة $- \frac{y}{10 x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y}{10 x} \cdot \frac{y}{y}$

خطوة 2.2.2

اضرب $\frac{y}{10 x}$ في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y \cdot y}{10 x y}$

خطوة 2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y}{10 x y}$

خطوة 2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - y \cdot y}{10 x y}$

خطوة 2.2.4.2

أعِد كتابة $y \cdot y$ بالصيغة $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - y^{2}}{10 x y}$

خطوة 2.2.4.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 x y}$

خطوة 2.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} (\frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $\frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y x}$

خطوة 2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $10 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أخرِج العامل $10 y$ من $10 y x$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y (x)}$

خطوة 2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y x}$

خطوة 2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

خطوة 2.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $(1 + y) (1 - y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

خطوة 2.5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{1}{x} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $10$ خارج التكامل.

$10 \int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.2

لنفترض أن $u = (1 + y) (1 - y)$ . إذن $d u = - 2 y d y$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

افترض أن $u = (1 + y) (1 - y)$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

خطوة 3.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = 1 + y$ و $g (y) = 1 - y$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 3.2.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 3.2.2.1.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 3.2.2.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 3.2.2.1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 3.2.2.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 3.2.2.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 3.2.2.1.3.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $1 + y$ .

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 3.2.2.1.3.6.3

أعِد كتابة $- 1 (1 + y)$ بالصيغة $- (1 + y)$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

خطوة 3.2.2.1.3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 3.2.2.1.3.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 3.2.2.1.3.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 3.2.2.1.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

خطوة 3.2.2.1.3.11

اضرب $1 - y$ في $1$ .

$- (1 + y) + 1 - y$

خطوة 3.2.2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

خطوة 3.2.2.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.4.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 - y + 1 - y$

خطوة 3.2.2.1.4.2.2

أضف $- 1$ و $1$ .

$- y + 0 - y$

خطوة 3.2.2.1.4.2.3

أضف $- y$ و $0$ .

$- y - y$

خطوة 3.2.2.1.4.2.4

اطرح $y$ من $- y$ .

$- 2 y$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$10 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.3.2

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$10 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$10 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$10 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.5

اضرب $- 1$ في $10$ .

$- 10 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- 10 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 10$ .

$\frac{- 10}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 10$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 5}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.7.2.2.4

اقسِم $- 5$ على $1$ .

$- 5 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- 5 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.9

بسّط.

$- 5 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $(1 + y) (1 - y)$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

وسّع $(1 + y) (1 - y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 5 \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 4.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 5 \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 4.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 5 \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 4.2.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$- 5 \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 4.2.2.1.2

اضرب $- y$ في $1$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 4.2.2.1.3

اضرب $y$ في $1$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 4.2.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 5 \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 4.2.2.1.5

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.5.1

انقُل $y$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 4.2.2.1.5.2

اضرب $y$ في $y$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 4.2.2.2

أضف $- y$ و $y$ .

$- 5 \ln (| 1 + 0 - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 4.2.2.3

أضف $1$ و $0$ .

$- 5 \ln (| 1 - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط $- 5 \ln (| 1 - y^{2} |)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) - \ln (| x |) = C$

خطوة 4.4

أضف $\ln (| x |)$ إلى كلا المتعادلين.

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$

خطوة 4.5

اقسِم كل حد في $- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اقسِم كل حد في $- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 4.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 4.5.2.2

اقسِم $\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})$ على $1$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 4.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 4.5.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 4.5.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

خطوة 4.5.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (| x |)$ بالصيغة $- \ln (| x |)$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C - \ln (| x |)$

خطوة 4.6

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) + \ln (| x |) = - C$

خطوة 4.7

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |) = - C$

خطوة 4.8

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |)} = e^{- C}$

خطوة 4.9

أعِد كتابة $\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |) = - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = {| 1 - y^{2} |}^{5} | x |$

خطوة 4.10

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ .

${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$

خطوة 4.10.2

اقسِم كل حد في ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ على $| x |$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.1

اقسِم كل حد في ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ على $| x |$ .

$\frac{{| 1 - y^{2} |}^{5} | x |}{| x |} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

خطوة 4.10.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{| 1 - y^{2} |}^{5} | x |}{| x |} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

خطوة 4.10.2.2.1.2

اقسِم ${| 1 - y^{2} |}^{5}$ على $1$ .

${| 1 - y^{2} |}^{5} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

خطوة 4.10.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$| 1 - y^{2} | = \sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$

خطوة 4.10.4

بسّط $\sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.4.1

أعِد كتابة $\sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$

خطوة 4.10.4.2

اضرب $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ في $\frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

خطوة 4.10.4.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.4.3.1

اضرب $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ في $\frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{\sqrt[5]{| x |} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

خطوة 4.10.4.3.2

ارفع $\sqrt[5]{| x |}$ إلى القوة $1$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{1} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

خطوة 4.10.4.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{1 + 4}}$

خطوة 4.10.4.3.4

أضف $1$ و $4$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{5}}$

خطوة 4.10.4.3.5

أعِد كتابة ${\sqrt[5]{| x |}}^{5}$ بالصيغة $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.4.3.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[5]{| x |}$ في صورة ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{({| x |}^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

خطوة 4.10.4.3.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

خطوة 4.10.4.3.5.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $5$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{5}{5}}}$

خطوة 4.10.4.3.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.4.3.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{5}{5}}}$

خطوة 4.10.4.3.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{1}}$

خطوة 4.10.4.3.5.5

بسّط.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{| x |}$

خطوة 4.10.4.4

أعِد كتابة ${\sqrt[5]{| x |}}^{4}$ بالصيغة $\sqrt[5]{{| x |}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} \sqrt[5]{{| x |}^{4}}}{| x |}$

خطوة 4.10.4.5

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C} {| x |}^{4}}}{| x |}$

خطوة 4.10.4.6

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[5]{e^{- C} {| x |}^{4}}}{| x |}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{{| x |}^{4} e^{- C}}}{| x |}$

خطوة 4.10.5

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{{| x |}^{4} e^{- C}}}{| x |}$

خطوة 4.10.6

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{4}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$1 - y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}$

خطوة 4.10.7

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$

خطوة 4.10.8

اقسِم كل حد في $- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.8.1

اقسِم كل حد في $- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.10.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.8.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.10.8.2.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.10.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.8.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.10.8.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |})$ بالصيغة $- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |})$ .

$y^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.10.8.3.1.3

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$y^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + 1$

خطوة 4.10.9

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + 1}$

خطوة 5

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} C}}{| x |}) + 1}$