حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

Solve the differential equation: $x \frac{d y}{d x} + y = (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x}$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

خطوة 1.4

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

خطوة 1.6

اضرب $y$ في $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x y] = (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x}$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x y = \int (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2} + 3 x$ و $d v = e^{\frac{2}{3} x}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) (\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) (\frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{3}{2}$ و $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x$

خطوة 5.3

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{3}{2}$ خارج التكامل.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x)$

خطوة 5.4

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} \int e^{\frac{2 x}{3}} (2 x + 3) d x$

خطوة 5.5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = 2 x + 3$ و $d v = e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) (\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot 2 d x)$

خطوة 5.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) (\frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot 2 d x)$

خطوة 5.6.2

اجمع $\frac{3}{2}$ و $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot 2 d x)$

خطوة 5.6.3

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 2 d x)$

خطوة 5.6.4

اجمع $\frac{3}{2}$ و $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot 2 d x)$

خطوة 5.6.5

اجمع $\frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ و $2$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 2}{2} d x)$

خطوة 5.6.6

اضرب $2$ في $3$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{6 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} d x)$

خطوة 5.6.7

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.7.1

أخرِج العامل $2$ من $6 e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} d x)$

خطوة 5.6.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 (1)} d x)$

خطوة 5.6.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 \cdot 1} d x)$

خطوة 5.6.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{1} d x)$

خطوة 5.6.7.2.4

اقسِم $3 e^{\frac{2 x}{3}}$ على $1$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int 3 e^{\frac{2 x}{3}} d x)$

خطوة 5.7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - (3 \int e^{\frac{2 x}{3}} d x))$

خطوة 5.8

اضرب $3$ في $- 1$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{\frac{2 x}{3}} d x)$

خطوة 5.9

لنفترض أن $u = \frac{2 x}{3}$ . إذن $d u = \frac{2}{3} d x$ ، لذا $\frac{3}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

افترض أن $u = \frac{2 x}{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

خطوة 5.9.1.2

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

خطوة 5.9.1.4

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 5.9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{u} \frac{1}{\frac{2}{3}} d u)$

خطوة 5.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{2}{3}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{u} (1 (\frac{3}{2})) d u)$

خطوة 5.10.2

اضرب $\frac{3}{2}$ في $1$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{u} \frac{3}{2} d u)$

خطوة 5.10.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{3}{2}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int \frac{e^{u} \cdot 3}{2} d u)$

خطوة 5.10.4

انقُل $3$ إلى يسار $e^{u}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int \frac{3 e^{u}}{2} d u)$

خطوة 5.11

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{3}{2}$ خارج التكامل.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 (\frac{3}{2} \int e^{u} d u))$

خطوة 5.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.12.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 3$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 5.12.2

اضرب $3$ في $- 3$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{- 9}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 5.12.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 5.13

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} (e^{u} + C))$

خطوة 5.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.14.1

أعِد كتابة $(x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} (e^{u} + C))$ بالصيغة $\frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} e^{u}) + C$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} e^{u}) + C$

خطوة 5.14.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.14.2.1

اجمع $e^{u}$ و $\frac{9}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{e^{u} \cdot 9}{2}) + C$

خطوة 5.14.2.2

انقُل $9$ إلى يسار $e^{u}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 \cdot e^{u}}{2}) + C$

خطوة 5.14.2.3

لكتابة $(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 e^{u}}{2}) + C$

خطوة 5.14.2.4

اجمع $(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} (\frac{(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot 2}{2} - \frac{9 e^{u}}{2}) + C$

خطوة 5.14.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot 2 - 9 e^{u}}{2} + C$

خطوة 5.14.2.6

اجمع $2$ و $\frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - 9 e^{u}}{2} + C$

خطوة 5.14.2.7

اضرب $3$ في $2$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{6 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 9 e^{u}}{2} + C$

خطوة 5.14.2.8

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.14.2.8.1

أخرِج العامل $2$ من $6 e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - 9 e^{u}}{2} + C$

خطوة 5.14.2.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.14.2.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 (1)} - 9 e^{u}}{2} + C$

خطوة 5.14.2.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 \cdot 1} - 9 e^{u}}{2} + C$

خطوة 5.14.2.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{1} - 9 e^{u}}{2} + C$

خطوة 5.14.2.8.2.4

اقسِم $3 e^{\frac{2 x}{3}}$ على $1$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) (3 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 e^{u}}{2} + C$

خطوة 5.14.2.9

انقُل $3$ إلى يسار $2 x + 3$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \cdot (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}}{2} + C$

خطوة 5.14.2.10

اضرب $\frac{3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}}{2}$ في $\frac{3}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{(3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}) \cdot 3}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 5.14.2.11

اضرب $2$ في $2$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{(3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}) \cdot 3}{4} + C$

خطوة 5.14.2.12

انقُل $3$ إلى يسار $3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3 \cdot (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

خطوة 5.14.2.13

لكتابة $\frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

خطوة 5.14.2.14

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.14.2.14.1

اضرب $\frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}}) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

خطوة 5.14.2.14.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}}) \cdot 2}{4} - \frac{3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

خطوة 5.14.2.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}}) \cdot 2 - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

خطوة 5.14.2.16

اضرب $2$ في $3$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

خطوة 5.15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{2 x}{3}$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2 x}{3}})}{4} + C$

خطوة 5.16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.16.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}})}{4} + C$

خطوة 5.16.2

اضرب $3$ في $- 3$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 ((2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}})}{4} + C$

خطوة 5.16.3

اضرب $- 9$ في $- 3$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 ((2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}}) + 27 e^{\frac{2 x}{3}}}{4} + C$

خطوة 5.16.4

أعِد ترتيب العوامل في $- 9 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 e^{\frac{2 x}{3}} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2 x}{3}}}{4} + C$

خطوة 5.17

أعِد ترتيب الحدود.

$x y = \frac{9}{2} x e^{\frac{2}{3} x} + \frac{1}{4} (x^{2} (6 e^{\frac{2}{3} x}) - 9 e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2}{3} x} - 9 e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

خطوة 6.1.1.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

خطوة 6.1.1.3

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2 x}{3}} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

خطوة 6.1.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2 x}{3}} (2 x) - 9 e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 3 + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

خطوة 6.1.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 \cdot 2 e^{\frac{2 x}{3}} x - 9 e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 3 + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

خطوة 6.1.1.6

اضرب $3$ في $- 9$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 \cdot 2 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

خطوة 6.1.1.7

اضرب $- 9$ في $2$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

خطوة 6.1.1.8

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2 x}{3}}) + C$

خطوة 6.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2 x}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أضف $- 27 e^{\frac{2 x}{3}}$ و $27 e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x + 0) + C$

خطوة 6.1.2.2

أضف $6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x$ و $0$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

خطوة 6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

خطوة 6.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2 (2)} (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

خطوة 6.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2 (2)} (2 (3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}})) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

خطوة 6.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}})) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

خطوة 6.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2} (3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

خطوة 6.1.5

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3}{2} (x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

خطوة 6.1.6

اجمع $x^{2}$ و $\frac{3}{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3}{2} e^{\frac{2 x}{3}} + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

خطوة 6.1.7

اجمع $\frac{x^{2} \cdot 3}{2}$ و $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

خطوة 6.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.8.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

خطوة 6.1.8.2

أخرِج العامل $2$ من $- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}} x)) + C$

خطوة 6.1.8.3

ألغِ العامل المشترك.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}} x)) + C$

خطوة 6.1.8.4

أعِد كتابة العبارة.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

خطوة 6.1.9

اجمع $- 9$ و $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{- 9}{2} (e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

خطوة 6.1.10

اجمع $e^{\frac{2 x}{3}}$ و $\frac{- 9}{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9}{2} x + C$

خطوة 6.1.11

اجمع $\frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9}{2}$ و $x$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9 x}{2} + C$

خطوة 6.1.12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.12.1

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 \cdot x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9 x}{2} + C$

خطوة 6.1.12.2

انقُل $- 9$ إلى يسار $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{- 9 \cdot e^{\frac{2 x}{3}} x}{2} + C$

خطوة 6.1.12.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 e^{\frac{2 x}{3}} x}{2} + C$

خطوة 6.1.13

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 e^{\frac{2 x}{3}} x}{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$

خطوة 6.1.14

احذِف الأقواس.

$x y = \frac{9}{2} \cdot x e^{\frac{2}{3} x} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$

خطوة 6.2

اقسِم كل حد في $x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اقسِم كل حد في $x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$ على $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x})}{x} + \frac{\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{- \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x})}{x} + \frac{\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{- \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x})}{x} + \frac{\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{- \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

خطوة 6.2.3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x$ .

$y = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

خطوة 6.2.3.1.2.2

اضرب $\frac{9}{2} (x e^{\frac{2 x}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.2.2.1

اجمع $x$ و $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x \cdot 9}{2} e^{\frac{2 x}{3}} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

خطوة 6.2.3.1.2.2.2

اجمع $\frac{x \cdot 9}{2}$ و $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$y = \frac{\frac{x \cdot 9 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

خطوة 6.2.3.1.2.3

انقُل $9$ إلى يسار $x$ .

$y = \frac{\frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

خطوة 6.2.3.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{C + \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}} + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

خطوة 6.2.3.1.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $9 x e^{\frac{2 x}{3}} + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 x e^{\frac{2 x}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.3.2.1

اطرح $9 x e^{\frac{2 x}{3}}$ من $9 x e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$y = \frac{C + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} + 0}{2}}{x}$

خطوة 6.2.3.1.3.2.2

أضف $3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}$ و $0$ .

$y = \frac{C + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

خطوة 6.2.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.1

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

خطوة 6.2.3.2.2

اجمع $C$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{C \cdot 2}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

خطوة 6.2.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\frac{C \cdot 2 + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

خطوة 6.2.3.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $C$ .

$y = \frac{\frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

خطوة 6.2.3.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.2.3.4

اضرب $\frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ في $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2 x}$