حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y^{2} + 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1^{2}}{y^{2} + 1}$

خطوة 1.2.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1)$

خطوة 1.2.3

وسّع $(x + 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x (x - 1) + 1 (x - 1)$

خطوة 1.2.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)$

خطوة 1.2.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

خطوة 1.2.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

خطوة 1.2.4.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

خطوة 1.2.4.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

خطوة 1.2.4.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

خطوة 1.2.4.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x - 1$

خطوة 1.2.4.2

أضف $- x$ و $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 0 - 1$

خطوة 1.2.4.3

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(y^{2} + 1) d y = (x^{2} - 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} + 1 d y = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y^{2} d y + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$