حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + x e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \int x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . إذن $d u_{2} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$ ، لذا $\frac{1}{- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

خطوة 2.3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 2.3.2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 2.3.2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.3.2.1.3.2

اجمع $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

خطوة 2.3.2.1.3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

خطوة 2.3.2.1.3.4.2

اجمع $- 2$ و $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

خطوة 2.3.2.1.3.4.3

اجمع $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ و $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

خطوة 2.3.2.1.3.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

خطوة 2.3.2.1.3.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.4.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

خطوة 2.3.2.1.3.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.2.1.3.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

خطوة 2.3.2.1.3.4.4.2.4

اقسِم $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ على $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

خطوة 2.3.2.1.3.4.5

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - \int - 1 d u_{2}$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = - (- u_{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

بسّط.

$y + C_{1} = - - u_{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 u_{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.2.2

اضرب $u_{2}$ في $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + K$