حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x y) d x - (x + 2) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $x y d x$ من كلا المتعادلين.

$- (x + 2) d y = - x y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(x + 2) y}$ .

$\frac{1}{(x + 2) y} (- (x + 2)) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{(x + 2) y} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(x + 2) y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{(x + 2) y} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $x + 2$ من $(x + 2) y$ .

$\frac{- 1}{(x + 2) (y)} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

خطوة 3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{(x + 2) y} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

خطوة 3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x + 2) y} (x y) d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(x + 2) y}$ إلى بسط الكسر.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x + 2) y} (x y) d x$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $y$ من $(x + 2) y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 2)} (x y) d x$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 2)} (y x) d x$

خطوة 3.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 2)} (y x) d x$

خطوة 3.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x + 2} x d x$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{- 1}{x + 2}$ و $x$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x + 2} d x$

خطوة 3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x + 2} d x$

خطوة 4.3.2

اقسِم $x$ على $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$x$

$0$

خطوة 4.3.2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

خطوة 4.3.2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

خطوة 4.3.2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 2$

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

خطوة 4.3.2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

خطوة 4.3.2.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

خطوة 4.3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x)$

خطوة 4.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x)$

خطوة 4.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x)$

خطوة 4.3.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x))$

خطوة 4.3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

خطوة 4.3.8

لنفترض أن $u = x + 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.1

افترض أن $u = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 4.3.8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.3.8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.3.8.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.3.8.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.3.8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 4.3.9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3}))$

خطوة 4.3.10

بسّط.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x - 2 \ln (| u |)) + C_{4}$

خطوة 4.3.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x - 2 \ln (| x + 2 |)) + C_{4}$

خطوة 4.3.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - x - (- 2 \ln (| x + 2 |)) + C_{4}$

خطوة 4.3.12.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - x + 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| y |) = - x + 2 \ln (| x + 2 |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- \ln (| y |) - 2 \ln (| x + 2 |) = - x + C$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $- 2 \ln (| x + 2 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$- \ln (| y |) - \ln ({| x + 2 |}^{2}) = - x + C$

خطوة 5.2.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x + 2 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$- \ln (| y |) - \ln ({(x + 2)}^{2}) = - x + C$

خطوة 5.3

أضف $\ln ({(x + 2)}^{2})$ إلى كلا المتعادلين.

$- \ln (| y |) = - x + C + \ln ({(x + 2)}^{2})$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $- \ln (| y |) = - x + C + \ln ({(x + 2)}^{2})$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| y |) = - x + C + \ln ({(x + 2)}^{2})$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

خطوة 5.4.2.2

اقسِم $\ln (| y |)$ على $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\ln (| y |) = \frac{x}{1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

خطوة 5.4.3.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$\ln (| y |) = x + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

خطوة 5.4.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = x - 1 \cdot C + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

خطوة 5.4.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| y |) = x - C + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

خطوة 5.4.3.1.5

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = x - C - 1 \cdot \ln ({(x + 2)}^{2})$

خطوة 5.4.3.1.6

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln ({(x + 2)}^{2})$ بالصيغة $- \ln ({(x + 2)}^{2})$ .

$\ln (| y |) = x - C - \ln ({(x + 2)}^{2})$

خطوة 5.5

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) + \ln ({(x + 2)}^{2}) = x - C$

خطوة 5.6

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x - C$

خطوة 5.7

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y | {(x + 2)}^{2})} = e^{x - C}$

خطوة 5.8

أعِد كتابة $\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x - C} = | y | {(x + 2)}^{2}$

خطوة 5.9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$ .

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$

خطوة 5.9.2

اقسِم كل حد في $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$ على ${(x + 2)}^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.1

اقسِم كل حد في $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$ على ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 5.9.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 5.9.2.2.1.2

اقسِم $| y |$ على $1$ .

$| y | = \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 5.9.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $e^{x + C}$ بالصيغة $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب $e^{x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 6.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C \frac{C e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$