حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{9}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب أسلوب برنولي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{9}$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$

خطوة 2

لحل المعادلة التفاضلية، افترض أن $v = y^{1 - n}$ حيث $n$ هو أُس $y^{9}$ .

$v = y^{- 8}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

$y = v^{- \frac{1}{8}}$

خطوة 4

خُذ مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{8}}$

خطوة 5

خُذ مشتق $v^{- \frac{1}{8}}$ بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

خُذ مشتق $v^{- \frac{1}{8}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{8}}]$

خطوة 5.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{8}}}]$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = v^{\frac{1}{8}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

خطوة 5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

خطوة 5.4.2

اضرب الأُسس في ${(v^{\frac{1}{8}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{8} \cdot 2}}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 (4)} \cdot 2}}$

خطوة 5.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 2}}$

خطوة 5.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.4.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.4.1

اضرب $v^{\frac{1}{8}}$ في $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.4.4.2

اطرح $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]$ من $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.4.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ و $g (x) = v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.7

اجمع $- 1$ و $\frac{8}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

اضرب $- 1$ في $8$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.9.2

اطرح $8$ من $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{- 7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{- \frac{7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.11

اجمع $\frac{1}{8}$ و $v^{- \frac{7}{8}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{7}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.12

انقُل $v^{- \frac{7}{8}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.13

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} v'}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.14

اجمع $\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ و $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.15

أعِد كتابة $\frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$ في صورة حاصل ضرب.

$y' = - (\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 5.16

اضرب $\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ في $\frac{1}{v^{\frac{1}{4}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}} v^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.17

اضرب $v^{\frac{7}{8}}$ في $v^{\frac{1}{4}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.17.1

انقُل $v^{\frac{1}{4}}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 (v^{\frac{1}{4}} v^{\frac{7}{8}})}$

خطوة 5.17.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} + \frac{7}{8}}}$

خطوة 5.17.3

لكتابة $\frac{1}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{8}}}$

خطوة 5.17.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.17.4.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{7}{8}}}$

خطوة 5.17.4.2

اضرب $4$ في $2$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{8} + \frac{7}{8}}}$

خطوة 5.17.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2 + 7}{8}}}$

خطوة 5.17.6

أضف $2$ و $7$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$

خطوة 6

عوّض بـ $- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $v^{- \frac{1}{8}}$ عن $y$ في المعادلة الأصلية $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$ .

$- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ في $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ في $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8 v^{\frac{9}{8}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.1.2

أخرِج العامل $8 v^{\frac{9}{8}}$ من $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.3

اضرب $\frac{d v}{d x}$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} v^{\frac{9}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.5

اضرب $v^{- \frac{1}{8}}$ في $v^{\frac{9}{8}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.5.1

انقُل $v^{\frac{9}{8}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{1}{8}}) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9}{8} - \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9 - 1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.5.4

اطرح $1$ من $9$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{8}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.5.5

اقسِم $8$ على $8$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.6

بسّط $- 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.7

اضرب $- 1$ في $8$ .

$\frac{d v}{d x} - 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.8

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.10

اجمع $v$ و $\frac{8}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 8}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.2.1.11

انقُل $8$ إلى يسار $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

خطوة 7.1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 1 \cdot 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

خطوة 7.1.1.3.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

خطوة 7.1.1.3.3

اضرب الأُسس في ${(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{1}{8} \cdot 9} v^{\frac{9}{8}}$

خطوة 7.1.1.3.3.2

اضرب $- \frac{1}{8} \cdot 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.3.2.1

اضرب $9$ في $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- 9 (\frac{1}{8})} v^{\frac{9}{8}}$

خطوة 7.1.1.3.3.2.2

اجمع $- 9$ و $\frac{1}{8}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{- 9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

خطوة 7.1.1.3.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

خطوة 7.1.1.3.4

اضرب $v^{- \frac{9}{8}}$ في $v^{\frac{9}{8}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.4.1

انقُل $v^{\frac{9}{8}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{9}{8}})$

خطوة 7.1.1.3.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9}{8} - \frac{9}{8}}$

خطوة 7.1.1.3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9 - 9}{8}}$

خطوة 7.1.1.3.4.4

اطرح $9$ من $9$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{0}{8}}$

خطوة 7.1.1.3.4.5

اقسِم $0$ على $8$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{0}$

خطوة 7.1.1.3.5

بسّط $- 8 v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $v$ من $- \frac{8 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{8}{x}) = - 8$

خطوة 7.1.3

أعِد ترتيب $v$ و $- \frac{8}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = - 8$

خطوة 7.2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - \frac{8}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{8}{x} d x}$

خطوة 7.2.2

أوجِد تكامل $- \frac{8}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{8}{x} d x}$

خطوة 7.2.2.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$e^{- (8 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 7.2.2.3

اضرب $8$ في $- 1$ .

$e^{- 8 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 7.2.2.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- 8 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 7.2.2.5

بسّط.

$e^{- 8 \ln (| x |) + C}$

خطوة 7.2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 8 \ln (x)}$

خطوة 7.2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 8})}$

خطوة 7.2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 8}$

خطوة 7.2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{8}}$

خطوة 7.3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x^{8}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

خطوة 7.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{8}}$ و $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

خطوة 7.3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} (\frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

خطوة 7.3.2.3

اجمع $\frac{8}{x}$ و $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

خطوة 7.3.2.4

اضرب $- \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.4.1

اضرب $\frac{8 v}{x}$ في $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x \cdot x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

خطوة 7.3.2.4.2

اضرب $x$ في $x^{8}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.4.2.1

اضرب $x$ في $x^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.4.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1} x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

خطوة 7.3.2.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1 + 8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

خطوة 7.3.2.4.2.2

أضف $1$ و $8$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

خطوة 7.3.3

اجمع $\frac{1}{x^{8}}$ و $- 8$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{- 8}{x^{8}}$

خطوة 7.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = - \frac{8}{x^{8}}$

خطوة 7.4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] = - \frac{8}{x^{8}}$

خطوة 7.5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] d x = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

خطوة 7.6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x^{8}} v = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

خطوة 7.7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x^{8}} v = - \int \frac{8}{x^{8}} d x$

خطوة 7.7.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x^{8}} v = - (8 \int \frac{1}{x^{8}} d x)$

خطوة 7.7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.3.1

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int \frac{1}{x^{8}} d x$

خطوة 7.7.3.2

انقُل $x^{8}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int {(x^{8})}^{- 1} d x$

خطوة 7.7.3.3

اضرب الأُسس في ${(x^{8})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.3.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{8 \cdot - 1} d x$

خطوة 7.7.3.3.2

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{- 8} d x$

خطوة 7.7.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 8}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{7} x^{- 7}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7} x^{- 7} + C)$

خطوة 7.7.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.5.1.1

اجمع $x^{- 7}$ و $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{x^{- 7}}{7} + C)$

خطوة 7.7.5.1.2

انقُل $x^{- 7}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}} + C)$

خطوة 7.7.5.2

بسّط.

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}}) + C$

خطوة 7.7.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.5.3.1

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = 8 \frac{1}{7 x^{7}} + C$

خطوة 7.7.5.3.2

اجمع $8$ و $\frac{1}{7 x^{7}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

خطوة 7.8

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1.1

اطرح $\frac{8}{7 x^{7}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} = C$

خطوة 7.8.1.2

اطرح $C$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

خطوة 7.8.1.3

اجمع $\frac{1}{x^{8}}$ و $v$ .

$\frac{v}{x^{8}} - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

خطوة 7.8.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $v$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.2.1

أضف $\frac{8}{7 x^{7}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{v}{x^{8}} - C = \frac{8}{7 x^{7}}$

خطوة 7.8.2.2

أضف $C$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{v}{x^{8}} = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

خطوة 7.8.3

اضرب كلا الطرفين في $x^{8}$ .

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

خطوة 7.8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

خطوة 7.8.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$v = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

خطوة 7.8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.4.2.1

بسّط $(\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$v = \frac{8}{7 x^{7}} x^{8} + C x^{8}$

خطوة 7.8.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.4.2.1.2.1

أخرِج العامل $x^{7}$ من $7 x^{7}$ .

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} x^{8} + C x^{8}$

خطوة 7.8.4.2.1.2.2

أخرِج العامل $x^{7}$ من $x^{8}$ .

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

خطوة 7.8.4.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

خطوة 7.8.4.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$v = \frac{8}{7} x + C x^{8}$

خطوة 7.8.4.2.1.3

اجمع $\frac{8}{7}$ و $x$ .

$v = \frac{8 x}{7} + C x^{8}$

خطوة 7.8.4.2.1.4

أعِد ترتيب $\frac{8 x}{7}$ و $C x^{8}$ .

$v = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$

خطوة 8

عوّض بقيمة $v$ التي تساوي $y^{- 8}$ .

$y^{- 8} = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$