حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} - 6 y = x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} - 6 y = x$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x}{x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x}{x}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x}{x}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x}{x}$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = 1$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $y$ من $\frac{- 6 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 6}{x} = 1$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{- 6}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6}{x} y = 1$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{- 6}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{- 6}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{- 6}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$e^{\int - \frac{6}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{6}{x} d x}$

خطوة 2.2.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$e^{- (6 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 2.2.4

اضرب $6$ في $- 1$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- 6 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$e^{- 6 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 6 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 6})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 6}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{6}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x^{6}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{1}{x^{6}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{6}} (\frac{- 6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{6}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}} (\frac{- 6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

خطوة 3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}} (- \frac{6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{1}{x^{6}} (\frac{6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

خطوة 3.2.4

اجمع $\frac{6}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{6 y}{x} = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

خطوة 3.2.5

اضرب $- \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{6 y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اضرب $\frac{6 y}{x}$ في $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x \cdot x^{6}} = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

خطوة 3.2.5.2

اضرب $x$ في $x^{6}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

اضرب $x$ في $x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{1} x^{6}} = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

خطوة 3.2.5.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{1 + 6}} = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

خطوة 3.2.5.2.2

أضف $1$ و $6$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{6}} \cdot 1$

خطوة 3.3

اضرب $\frac{1}{x^{6}}$ في $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{6}}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}} y] = \frac{1}{x^{6}}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}} y] d x = \int \frac{1}{x^{6}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x^{6}} y = \int \frac{1}{x^{6}} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

انقُل $x^{6}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

خطوة 7.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{6})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int x^{6 \cdot - 1} d x$

خطوة 7.1.2.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int x^{- 6} d x$

خطوة 7.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{5} x^{- 5} + C$

خطوة 7.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{5} x^{- 5} + C$ بالصيغة $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}} + C$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}} + C$

خطوة 7.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اضرب $\frac{1}{x^{5}}$ في $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{x^{5} \cdot 5} + C$

خطوة 7.3.2.2

انقُل $5$ إلى يسار $x^{5}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أضف $\frac{1}{5 x^{5}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x^{6}} y + \frac{1}{5 x^{5}} = C$

خطوة 8.1.2

اطرح $C$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x^{6}} y + \frac{1}{5 x^{5}} - C = 0$

خطوة 8.1.3

اجمع $\frac{1}{x^{6}}$ و $y$ .

$\frac{y}{x^{6}} + \frac{1}{5 x^{5}} - C = 0$

خطوة 8.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اطرح $\frac{1}{5 x^{5}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y}{x^{6}} - C = - \frac{1}{5 x^{5}}$

خطوة 8.2.2

أضف $C$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y}{x^{6}} = - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

خطوة 8.3

اضرب كلا الطرفين في $x^{6}$ .

$\frac{y}{x^{6}} x^{6} = (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) x^{6}$

خطوة 8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x^{6}} x^{6} = (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) x^{6}$

خطوة 8.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) x^{6}$

خطوة 8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

بسّط $(- \frac{1}{5 x^{5}} + C) x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{1}{5 x^{5}} x^{6} + C x^{6}$

خطوة 8.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{5 x^{5}}$ إلى بسط الكسر.

$y = \frac{- 1}{5 x^{5}} x^{6} + C x^{6}$

خطوة 8.4.2.1.2.2

أخرِج العامل $x^{5}$ من $5 x^{5}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{5} \cdot 5} x^{6} + C x^{6}$

خطوة 8.4.2.1.2.3

أخرِج العامل $x^{5}$ من $x^{6}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{5} \cdot 5} (x^{5} x) + C x^{6}$

خطوة 8.4.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- 1}{x^{5} \cdot 5} (x^{5} x) + C x^{6}$

خطوة 8.4.2.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{- 1}{5} x + C x^{6}$

خطوة 8.4.2.1.3

اجمع $\frac{- 1}{5}$ و $x$ .

$y = \frac{- x}{5} + C x^{6}$

خطوة 8.4.2.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{x}{5} + C x^{6}$

خطوة 8.4.2.1.4.2

أعِد ترتيب $- \frac{x}{5}$ و $C x^{6}$ .

$y = C x^{6} - \frac{x}{5}$