حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d v}{d x} = 1 - 2 v$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 - 2 v}$ .

$\frac{1}{1 - 2 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{1 - 2 v} (1 - 2 v)$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - 2 v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 - 2 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{1 - 2 v} (1 - 2 v)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 - 2 v} \frac{d v}{d x} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{1 - 2 v} d v = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 - 2 v} d v = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 1 - 2 v$ . إذن $d u = - 2 d v$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d v$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 1 - 2 v$ . أوجِد $\frac{d u}{d v}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - 2 v$ .

$\frac{d}{d v} [1 - 2 v]$

خطوة 2.2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 2 v$ بالنسبة إلى $v$ هو $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

$\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- 2 v]$

خطوة 2.2.1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $v$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- 2 v]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، إذن مشتق $- 2 v$ بالنسبة إلى $v$ يساوي $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d v} [v]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$0 - 2$

خطوة 2.2.1.1.4

اطرح $2$ من $0$ .

$- 2$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int d x$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

خطوة 2.2.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - 2 v$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 v |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 v |) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 v |) = x + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 v |)) = - 2 (x + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 v |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\ln (| 1 - 2 v |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 v |)}{2}) = - 2 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (| 1 - 2 v |)}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 - 2 v |)}{2} = - 2 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 2 v |)}{2} = - 2 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 2 v |)}{2} = - 2 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - \ln (| 1 - 2 v |) = - 2 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 2 v |) = - 2 (x + C)$

خطوة 3.2.1.1.3.2

اضرب $\ln (| 1 - 2 v |)$ في $1$ .

$\ln (| 1 - 2 v |) = - 2 (x + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 1 - 2 v |) = - 2 x - 2 C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $v$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 1 - 2 v |)} = e^{- 2 x - 2 C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (| 1 - 2 v |) = - 2 x - 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x - 2 C} = | 1 - 2 v |$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 1 - 2 v | = e^{- 2 x - 2 C}$ .

$| 1 - 2 v | = e^{- 2 x - 2 C}$

خطوة 3.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 - 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C}$

خطوة 3.5.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} - 1$

خطوة 3.5.4

اقسِم كل حد في $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} - 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اقسِم كل حد في $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} - 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 3.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 3.5.4.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 3.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1.1

بسّط $\frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 3.5.4.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 3.5.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} + 1}{2}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x + C} + 1}{2}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $e^{- 2 x + C}$ بالصيغة $e^{- 2 x} e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x} e^{C} + 1}{2}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{- 2 x}$ و $e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x} + 1}{2}$

خطوة 4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$v = \frac{C e^{- 2 x} + 1}{2}$