حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$t \frac{d y}{d t} + 2 y = 3$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $2 y$ من كلا المتعادلين.

$t \frac{d y}{d t} = 3 - 2 y$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $t \frac{d y}{d t} = 3 - 2 y$ على $t$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $t \frac{d y}{d t} = 3 - 2 y$ على $t$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{3}{t} + \frac{- 2 y}{t}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{3}{t} + \frac{- 2 y}{t}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d t}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{3}{t} + \frac{- 2 y}{t}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3}{t} - \frac{2 y}{t}$

خطوة 1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 - 2 y}{t}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{3 - 2 y}$ .

$\frac{1}{3 - 2 y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{3 - 2 y} \cdot \frac{3 - 2 y}{t}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3 - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3 - 2 y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{3 - 2 y} \cdot \frac{3 - 2 y}{t}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3 - 2 y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{t}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{3 - 2 y} d y = \frac{1}{t} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{3 - 2 y} d y = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 3 - 2 y$ . إذن $d u = - 2 d y$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 3 - 2 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $3 - 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 - 2 y]$

خطوة 2.2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - 2 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

خطوة 2.2.1.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$0 - 2$

خطوة 2.2.1.1.4

اطرح $2$ من $0$ .

$- 2$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 - 2 y$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 2.3

تكامل $\frac{1}{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| t |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) = \ln (| t |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |)) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\ln (| 3 - 2 y |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 y |)}{2}) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (| 3 - 2 y |)}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| t |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| t |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| t |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - \ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.3.2

اضرب $\ln (| 3 - 2 y |)$ في $1$ .

$\ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| t |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 3 - 2 y |) = - 2 \ln (| t |) - 2 C$

خطوة 3.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 3 - 2 y |) + 2 \ln (| t |) = - 2 C$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط $\ln (| 3 - 2 y |) + 2 \ln (| t |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

بسّط $2 \ln (| t |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| 3 - 2 y |) + \ln ({| t |}^{2}) = - 2 C$

خطوة 3.4.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| t |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| 3 - 2 y |) + \ln (t^{2}) = - 2 C$

خطوة 3.4.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - 2 y | t^{2}) = - 2 C$

خطوة 3.4.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (| 3 - 2 y | t^{2})$ .

$\ln (t^{2} | 3 - 2 y |) = - 2 C$

خطوة 3.5

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (t^{2} | 3 - 2 y |)} = e^{- 2 C}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\ln (t^{2} | 3 - 2 y |) = - 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = t^{2} | 3 - 2 y |$

خطوة 3.7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ .

$t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.2

اقسِم كل حد في $t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ على $t^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

اقسِم كل حد في $t^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ على $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} | 3 - 2 y |}{t^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

خطوة 3.7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t^{2} | 3 - 2 y |}{t^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

خطوة 3.7.2.2.1.2

اقسِم $| 3 - 2 y |$ على $1$ .

$| 3 - 2 y | = \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

خطوة 3.7.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$3 - 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}$

خطوة 3.7.4

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}} - 3$

خطوة 3.7.5

اقسِم كل حد في $- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}} - 3$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.1

اقسِم كل حد في $- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}} - 3$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

خطوة 3.7.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

خطوة 3.7.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

خطوة 3.7.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.3.1.1

بسّط $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{- 2}$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

خطوة 3.7.5.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\pm \frac{C}{t^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$