حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = 0.04 y + 8000$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{0.04 y + 8000}$ .

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $0.04 y + 8000$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} d y = 1 d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{0.04 y + 8000} d y = \int d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 0.04 y + 8000$ . إذن $d u = 0.04 d y$ ، لذا $\frac{1}{0.04} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 0.04 y + 8000$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{0.04}{1}$

خطوة 2.2.1.1.2

اقسِم $0.04$ على $1$ .

$0.04$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{25}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.2

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $25$ خارج التكامل.

$25 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$25 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$25 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

خطوة 2.2.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $0.04 y + 8000$ .

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = \int d t$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = t + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ على $25$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ على $25$ .

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

خطوة 3.1.2.1.2

اقسِم $\ln (| 0.04 y + 8000 |)$ على $1$ .

$\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

خطوة 3.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 0.04 y + 8000 |)} = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} = | 0.04 y + 8000 |$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$ .

$| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

خطوة 3.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$0.04 y + 8000 = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

خطوة 3.4.3

اطرح $8000$ من كلا المتعادلين.

$0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$

خطوة 3.4.4

اقسِم كل حد في $0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ على $0.04$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اقسِم كل حد في $0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ على $0.04$ .

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

خطوة 3.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $0.04$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

خطوة 3.4.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

خطوة 3.4.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

خطوة 3.4.4.3.1.2

اضرب في $1$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

خطوة 3.4.4.3.1.3

أخرِج العامل $0.04$ من $0.04$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04 (1)} + \frac{- 8000}{0.04}$

خطوة 3.4.4.3.1.4

افصِل الكسور.

$y = \frac{1}{0.04} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

خطوة 3.4.4.3.1.5

اقسِم $1$ على $0.04$ .

$y = 25 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

خطوة 3.4.4.3.1.6

اقسِم $\pm e^{\frac{t + C}{25}}$ على $1$ .

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) + \frac{- 8000}{0.04}$

خطوة 3.4.4.3.1.7

اقسِم $- 8000$ على $0.04$ .

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) - 200000$