حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

خطوة 1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

خطوة 1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

خطوة 1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

خطوة 1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

خطوة 1.3.1.1.2

اقسِم $\sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

خطوة 1.3.1.2

أعِد كتابة $\tan (\frac{y}{x})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $\sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.3.1

اجمع $\sin (\frac{y}{x})$ و $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.3.1.3.2

ارفع $\sin (\frac{y}{x})$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.3.1.3.3

ارفع $\sin (\frac{y}{x})$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin^{1} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.3.1.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{{\sin (\frac{y}{x})}^{1 + 1}}{\cos (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.3.1.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{2} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $\sin (\frac{y}{x})$ من $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.3.2.2

افصِل الكسور.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

خطوة 1.3.2.3

حوّل من $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ إلى $\tan (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \tan (\frac{y}{x})$

خطوة 1.3.2.4

اقسِم $\sin (\frac{y}{x})$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sin (V) \tan (V)$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

بسّط $V + \sin (V) \tan (V)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1.1.1

أعِد كتابة $\tan (V)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.1.1.1.2

اضرب $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1.1.2.1

اجمع $\sin (V)$ و $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.1.1.1.2.2

ارفع $\sin (V)$ إلى القوة $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.1.1.1.2.3

ارفع $\sin (V)$ إلى القوة $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.1.1.1.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.1.1.1.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1.2.1

أخرِج العامل $\sin (V)$ من $\sin^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.1.1.2.2

افصِل الكسور.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.1.1.2.3

حوّل من $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ إلى $\tan (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

خطوة 6.1.1.1.1.2.4

اقسِم $\sin (V)$ على $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

خطوة 6.1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sin (V) \tan (V) - V$

خطوة 6.1.1.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $V + \sin (V) \tan (V) - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V) + 0$

خطوة 6.1.1.2.2.2

أضف $\sin (V) \tan (V)$ و $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

خطوة 6.1.1.2.3

أعِد كتابة $\tan (V)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.2.4

اضرب $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.4.1

اجمع $\sin (V)$ و $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.2.4.2

ارفع $\sin (V)$ إلى القوة $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.2.4.3

ارفع $\sin (V)$ إلى القوة $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.2.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.2.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.2.5

أخرِج العامل $\sin (V)$ من $\sin^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.2.6

افصِل الكسور.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

خطوة 6.1.1.2.7

حوّل من $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ إلى $\tan (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

خطوة 6.1.1.2.8

اقسِم $\sin (V)$ على $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

خطوة 6.1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

خطوة 6.1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sin (V) \tan (V)}$ .

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

خطوة 6.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (V) \tan (V)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

خطوة 6.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

افصِل الكسور.

$\int \frac{1}{\tan (V)} \cdot \frac{1}{\sin (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (V)}$ إلى $\csc (V)$ .

$\int \frac{1}{\tan (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.3

أعِد كتابة $\tan (V)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (V)}{\cos (V)}} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$\int \frac{\cos (V)}{\sin (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.5

حوّل من $\frac{\cos (V)}{\sin (V)}$ إلى $\cot (V)$ .

$\int \cot (V) \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

بما أن مشتق $- \csc (V)$ هو $\cot (V) \csc (V)$ ، إذن تكامل $\cot (V) \csc (V)$ هو $- \csc (V)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \csc (V) = \ln (| x |) + C$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم كل حد في $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اقسِم كل حد في $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ على $- 1$ .

$\frac{- \csc (V)}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 6.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\csc (V)}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 6.3.1.2.2

اقسِم $\csc (V)$ على $1$ .

$\csc (V) = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

خطوة 6.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\csc (V) = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

خطوة 6.3.1.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (| x |)$ بالصيغة $- \ln (| x |)$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

خطوة 6.3.1.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

خطوة 6.3.1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) - C$

خطوة 6.3.2

خُذ دالة قاطع التمام العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $V$ من داخل قاطع التمام.

$V = arccsc (- \ln (| x |) - C)$

خطوة 6.4

بسّط ثابت التكامل.

$V = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $arccsc (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = x arccsc (- \ln (| x |) + C)$